Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

FaceBook oldalunk

Látogatók

Mai631
Heti10039
Havi37486
Összes1105777

IP: 18.232.147.215 Unknown - Unknown 2019. április 18. csütörtök, 12:31

Ki van itt?

Guests : 71 guests online Members : No members online

Honlapok

SULINET Matematika

Oktatási Hivatal

Versenyvizsga portál
banvv

Matematika Portálok

Berzsenyi Dániel Gimnázium

berzsenyi

Óbudai Árpád Gimnázium
arpad

 

Szent István Gimnázium

sztistvan

A gondolkodás öröme
gondolkodasorome

Keresés az Országos Középiskolai Matematikaverseny (OKTV) feladatbankjában

Találatok száma laponként:
Keresési szűrő: (összes találat)
 
Találatok száma: 355 ( listázott találatok: 1 ... 30 )

1. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_1k1f1f )
Témakör: *Geometria

Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! goldás:



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
2. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_1k1f2f )
Témakör: *Algebra

Legyenek aza, b, c, dszámok pozitív valós számok. Igazolja, hogy

$ \sqrt{ a \cdot b } + \sqrt{ c \cdot d }\le (\sqrt{ a + d ) \cdot ( b + c ) }! $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
3. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_1k1f3f )
Témakör: *Algebra

Ha az $ x $ , $ y $ , $ z $ valós számok eleget tesznek az $ x + 3 y + 5 z = 200 $ és az $ x + 4 y + 7 z = 225 $ egyenleteknek, akkor mennyi a $ K = x + y + z $ kifejezés értéke?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
4. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k1f4f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán az $ [x ]= 2008 \left\{ x \right\} $ egyenletet! ( [x ] az x valós szám egészrésze, azaz az x -nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb, { x} pedig az x valós szám törtrésze, azaz { x} = x − [x ] )



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
5. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k1f5f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ háromszög $ AC $ oldalán az $ E $ belső pont úgy helyezkedik el, hogy $ EC = AB $ . Legyen $ F $ a $ BC $ , $ M $ pedig az $ AE $ szakasz felezőpontja. Határozzuk meg az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsánál levő belső szögét, ha $ FME\sphericalangle = 18^\circ $ !



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
6. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_1k2f1f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós számok halmazán a

$ \log_4 (\log_8 x ) = \log_8 (\log_4 x) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
7. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_1k2f2f )
Témakör: *Geometria

Az $ ABC $ derékszögű háromszögben az $ A $ csúcsnál levő belső szög $ 30^\circ $ . A $ BC $ befogóra illeszkedő $ P $ pontból az $ AB $ átfogóra rajzolt merőleges talppontja legyen $ Q $ . Határozza meg a $ \dfrac{BP}{ PC} $ arány értékét, ha a $ BPQ $ és a $ CPA $ háromszögek  területei egyenlők!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
8. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_1k2f3f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy fiókban n darab füzet van, közülük néhány négyzetrácsos, a többi vonalas. Egymás után véletlenszerűen kiveszünk kettőt. Egy másik fiókban ugyancsak n darab füzet van, de kétszer annyi közöttük a négyzetrácsos, mint az előzőben. Ebből a fiókból is kiveszünk véletlenszerűen kettőt. Annak a valószínűsége, hogy a másodikból két négyzetrácsosat veszünk ki, ötször annyi, mint, annak, hogy az első fiókból veszünk ki két négyzetrácsosat. Hány négyzetrácsos füzet van az egyes fiókokban?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
9. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_1k2f4f )
Témakör: *Kombinatorika

Hófehérke, Hamupipőke és Csipkerózsika a mesebeli tisztáson találkoznak. Hófehérke kosarában almák, Hamupipőke kosarában körték, Csipkerózsika kosarában barackok vannak. Minden kosárban 100-nál kevesebb gyümölcs van. Hófehérke almáinak egy kilenced részét Hamupipőkének adja, másik egy kilenced részét Csipkerózsikának. Ekkor Hamupipőke a másik két mesehős mindegyikének odaadja a körtéinek egy nyolcad - egy nyolcad részét. Csipkerózsika rövid gondolkodás után azt mondja: „én mindkettőtöknek odaadom a barackjaim egy hatod - egy hatod részét, mert akkor mindhármunknak ugyanannyi gyümölcs lesz a kosarában.” Melyiküknek hány gyümölcse volt eredetileg, és mennyit adtak egymásnak, ha sem átadáskor, sem azután, egyikük sem darabolta a gyümölcsöket? Mennyi lett a végén a kosaraikban levő gyümölcsök száma?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
10. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória 2. forduló 5. feladat ( OKTV_20082009_1k2f5f )
Témakör: *Algebra

Oldja meg a valós $ (x, y ) $ számpárok halmazán az

$ ( x + y + 2009)^2 = 2 ( xy + 2 x + 2008) (− x + y − xy + 1) $

egyenletet!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
11. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20082009_1kdf1f )
Témakör: *Geometria

Egy háromszög oldalai a következők:  $ AB = \sqrt{ x^2 − 1 }\left( x^n + x^{n −1} + x^{n − 2} \right) $  , $ BC = x^{n +1} + x^n + x^{n −1} $ és $ CA = x^n + x^{n −1} + x^{n −2} $ , ahol $ x > 1 $ valós szám és $ n \in \mathbb{N}^+ , n\ge 2 $ .

a) Bizonyítsa be, hogy a háromszög derékszögű!

b) Határozza meg az x valós szám értékét úgy, hogy a háromszög legkisebb szögének nagysága $ 30^\circ $ legyen!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
12. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20082009_1kdf2f )
Témakör: *Algebra

Legyen tetszőleges $ x $ valós szám esetén $ f ( x) = \dfrac{4^x}{ 4^x+2} $

a) Határozza meg az $ f (x ) + f ( y ) $ összeget, ha $ x $ és $ y $ olyan valós számok, amelyek összege 1!

b) Határozza meg az

$ f\left(\dfrac{1}{2010}\right)+f\left(\dfrac{2}{2010}\right)+\ldots+f\left(\dfrac{2009}{2010}\right) $

összeg pontos értékét!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
13. találat: OKTV 2008/2009 I. kategória döntő 3. feladat ( OKTV_20082009_1kdf3f )
Témakör: *Geometria

Adja meg az összes olyan háromszöget, amelynek oldalai közvetlen egymás után következő páros egész számok, valamint az egyik belső szöge kétszer akkora, mint ennek a háromszögnek egy másik belső szöge!



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
14. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_2k1f1f )
Témakör: *Algebra

Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait.

$ x^3 + y^3 = x, \ 3x^2y + 3xy^2 = y. $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
15. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_2k1f2f )
Témakör: *Algebra

Tekintsük azokat a négyjegyű pozitı́v egész számokat, amelyeknek minden jegye különböző.

a) Hány ilyen szám van?

b) Mennyi ezeknek a számoknak az összege?

c) Növekvő sorrendbe állı́tva őket melyik lesz a 2008-ik? (Az 1023 az első.)



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
16. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_2k1f3f )
Témakör: *Geometria

Az egyenlőszárú $ ABC $ háromszögben $ AB = AC $ . $ BC $ egy tetszőleges belső $ P $ pontjából a szárakkal párhuzamosokat húzunk. Az $ AC $ -vel párhuzamos az $ AB $ -t $ Q $ -ban, az $ AB $ -vel párhuzamos az $ AC $ -t $ R $ -ben metszi. Határozzuk meg a $ PQR $ háromszögek súlypontjának halmazát, mértani helyét.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
17. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_2k1f4f )
Témakör: *Algebra

Adottak az A, B és C számok:

$ A=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},\ B=(\sqrt{5}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}})\cdot  (\sqrt{5}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}}),\ C=\sqrt{7-4\sqrt{3}} $

Igazoljuk, hogy bármely pozitı́v egész n esetén irracionális az alábbi szám:

$ \sqrt{(A++B-C)n+2} $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
18. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20082009_2k1f5f )
Témakör: *Algebra

A pozitı́v valós $ p $ paraméter segı́tségével definiáljuk a valós számok halmazán az $ f $ függvényt:

$ f(x)=\begin{cases} p|x-4|-4p;\ \text{ ha } x\ge 0\\ -p|x+4|+4p ;\ \text{ ha } x<0\end{cases} $

Határozzuk meg $ p $ értékét, ha tudjuk, hogy egyetlen olyan négyzet van, amelynek minden csúcsa rajta van $ f $ grafikonján.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
19. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_2k2f1f )
Témakör: *Algebra

Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi $ f $ függvény értelmezhető és határozzuk meg a függvény értékkészletét ezen az értelmezési tartományon.

$ f(x)=\sqrt{1-\sqrt{x-\sqrt{2-x}}} $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
20. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_2k2f2f )
Témakör: *Algebra

Határozzuk meg a következő egyenlet valós megoldásait. ([y] az y valós szám egész részét jelöli.)

$ \left[\dfrac{ x}{2 }\right] -\left[\dfrac{ x}{3 }\right]=\dfrac{x}{7} $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
21. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_2k2f3f )
Témakör: *Kombinatorika

Egy 1 milliárd lakosú országban egy olcsó AIDS teszt bevezetését tervezik. Tudjuk, hogy kb. minden ezredik ember fertőzött. Kiderült, hogy a betegek 99,9%-ánál pozitı́v, viszont sajnos az egészségesek 0,1%-ánál is pozitı́v eredményt ad a teszt. Ilyen paraméterek mellett elvetették a használatát. Egy matematikus azt javasolta, hogy végezzék el kétszer egymás után a vizsgálatot és ha mindkettő pozitı́v, csak akkor küldjék orvoshoz a pácienst. Így már bevezethető lett a teszt. A következő két kérdéssel arra keressük a választ, mi ennek a magyarázata.

a) Számı́tsuk ki mennyi a valószı́nűsége, hogy beteg valaki, ha az első teszt pozitı́v.

b) Számı́tsuk ki mennyi a valószı́nűsége, hogy beteg valaki, ha mind a két teszt pozitı́v.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
22. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória 2. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_2k2f4f )
Témakör: *Geometria

Az $ a $ , $ b $ , $ c $ oldalú $ t $ területű hegyesszögű háromszögre $ abc = a + b + c $ teljesül. Bizonyı́tsuk be, hogy

$ \dfrac{\sqrt{3}}{2}<t<\dfrac{3}{2} $

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
23. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória döntő 1. feladat ( OKTV_20082009_2kdf1f )
Témakör: *Algebra

Határozzuk meg azon $ k_1 , k_2 , \ldots , k_n $ és $ n $ pozitı́v egészeket, amelyekre

$ k_1+k_2+\ldots+k_n=5n-4 \text{ és } \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}=1 $  

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
24. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória döntő 2. feladat ( OKTV_20082009_2kdf2f )
Témakör: *Geometria

A szabályos $ ABC $ háromszög belső $ P $ pontjának az $ AB $ , $ BC $ és $ CA $ oldalakra eső merőleges vetülete legyen rendre $ C' $ , $ A' $ és $ B' $ . Jelölje az $ APC' $ , $ BPA' $ , $ CPB' $ és $ APB' $ , $ BPC' $ , $ CPA' $ háromszögekbe ı́rt körök sugarát rendre $ r_1 , r_2 , r_3 $ és $ r_4 , r_5 , r_6 $ . Bizonyı́tsuk be, hogy

$ r_1 + r_2 + r_3 = r_4 + r_5 + r_6 . $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
25. találat: OKTV 2008/2009 II. kategória döntő 3. feladat ( OKTV_20082009_2kdf3f )
Témakör: *Kombinatorika

A $ H = \left\{ 1; 2; 3; ...; 9 \right\} $  halmaz egy $ P $ partı́ciójának nevezzük azt, ha $ H $ -t diszjunkt részhalmazainak uniójaként ı́rjuk fel. (A részhalmazok páronként közös elem nélküliek.) Jelölje $ P (n) $ az $ n $ -t tartalmazó részhalmaz elemeinek számát ( $ n \in H $ ). Például a $ P : \{1; 4; 5\} \cup \{2\} \cup \{3; 6; 7; 8; 9\} = H $ partı́ció esetén $ P (6) = 5 $ . Bizonyı́tsuk be, hogy $ H $ bármely $ P_1 $ és $ P_2 $ partı́ciójára található két különböző $ H $ -beli $ n $ és $ m $ elem, amelyekre $ P_1 (n) = P_1 (m) $ és $ P_2 (n) = P_2 (m). $



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
26. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 1. feladat ( OKTV_20082009_3k1f1f )
Témakör: *Algebra

Legyen $ f (x) = 2 $ , ha $ x \ge 0 $ , és $ f (x) = 1 $ , ha $ x < 0 $ . Legyen továbbá $ g(x) = f (x)/f (x − 1) $ , és végül

$ h(x) = g(x) + 2 g(x/2) + 3 g(x/3) + . . . + 2008 g(x/2008). $

Számítsuk ki $ h(\pi) $ -t.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
27. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 2. feladat ( OKTV_20082009_3k1f2f )
Témakör: *Geometria

Tükrözzük az $ ABC $ hegyesszögű háromszög egy belső pontját az $ AB $ , $ BC $ , $ CA $ oldalakra, a tükörképeket jelölje rendre $ R $ , $ P $ , ill. $ Q $ . Bizonyítsuk be, hogy az $ AQR $ , $ PBR $ és $ PQC $ köröknek van közös pontja.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
28. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 3. feladat ( OKTV_20082009_3k1f3f )
Témakör: *Algebra

Legyen $ n $ pozitív egész. Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor létezik racionális számok négyzeteiből álló, $ n $ differenciájú, háromtagú számtani sorozat, ha létezik $ n $ területű, racionális oldalú, derékszögű háromszög.



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
29. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 4. feladat ( OKTV_20082009_3k1f4f )
Témakör: *Algebra

Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok körében:

$ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{7}{x-7}+\dfrac{9}{x-9}=x^2-5x-4 $

 

 



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba
30. találat: OKTV 2008/2009 III. kategória 1. forduló 5. feladat ( OKTV_20082009_3k1f5f )
Témakör: *Algebra

Mennyi $ 2 \cos \alpha + 6 \cos \beta + 3 \cos \gamma $ minimuma, ha $ \alpha, \beta , \gamma \ge  0 $ és $  \alpha + \beta + \gamma = 2\pi $ ?



Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

QR kód

Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium

QR

 

 

 

Bejelentkezés cikkíróknak


Joomla template: szsnjm3-001
(c) Szoldatics József (www.szolda.hu), Eszesen KFt. 2011/2016