Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak.
a) Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat?

b) Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen?
c)Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye?
Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett.
d) Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja. A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm × 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm × 5 cm, illetve 6 cm × 2 cm méretű téglalap.
a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!
A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm × 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm × 6 cm-es alaplapjának oldalaival).

b) Hány százalék hulladék keletkezik?
Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50 cm 2 nagyságú legyen.

c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy gyár a beszállítójától 600 darab terméket rendelt. A gyár csak akkor veszi át a 600 darabot, ha egy visszatevés nélküli mintavétellel adódó 15 elemű mintában egyetlen hibás termék sincs.
a) Ha a 600 termék között 6 hibás van, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintavétel után a gyár átveszi a termékeket?
Egy cég reklámja szerint a termékeik legfeljebb 0,5%-a lehet hibás. A minőséget visszatevéssel előállított 15 elemű minta alapján ellenőrizték, amelyben 2-szer fordult elő hibás termék.
b) Tegyük fel, hogy a cég termékeinek pontosan 0,5%-a hibás! Igazolja, hogy ekkor 1%-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a cég termékei közül visszatevéssel előállított 15 elemű mintában legalább 2-szer fordul elő hibás termék!
Egy szivattyúkat gyártó cég a selejtes termékeket visszavásárolja a forgalmazóktól, és a selejtraktárban tárolja. A selejtes termékek hibájuk alapján háromféle hibakódot kaphatnak. A törött termékek „T”, a hiányos termékek „H” és az egyéb hibával rendelkező termékek „E” kódot kapnak. Egy termék többféle hibakódot is kaphat a hibái alapján. A selejtraktárban az év végi nyilvántartás szerint a csak T kóddal, a csak H kóddal és a csak E kóddal rendelkező termékek darabszáma megegyezik. Olyan selejtes termék nincs, amelynek háromféle kódja is van. T kódja 35 terméknek, H kódja 40, E kódja pedig 45 terméknek van. Kétszer annyi terméknek van T és E kódja is, mint ahánynak T és H kódja is.
c) Hány selejtes termék van a selejtraktárban?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Legyen $ f:[1;\infty[\rightarrow [1;\infty[\, , x\rightarrow 2x-1 $ és $ g:[1;\infty[\rightarrow [1;\infty[\, , x\rightarrow \sqrt{x} $. Oldja meg a $ f\left( g(x) \right)=g\left( f(x) \right) $ egyenletet!

b) Igazolja, hogy tetszőleges $ a < b $ paraméterek esetén  $ \int\limits_{a}^{b} (2x-1) dx= (b-a)(b+a-1) $

c) Határozza meg az $ a $  és $ b $ egész paraméterek lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy $ \int\limits_{a}^{b} (2x-1) dx= 8\ (a

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az $ y = x $ és az $ y = -2x + 2 $ egyenletű egyenes, valamint az $ y = x^3 -x $ $(0 \le x \le 1) $ egyenletű görbe fogja közre.
a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0; 0) és (1; 0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!
Adott az $ f : \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} ; f ( x) = - x^ 3 + kx $ függvény ($ k $ valós paraméter). Az $ f $ függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az $ x = 1 $, illetve az $ x = 2 $ abszcisszájú pontjában.
b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a $ k $ paraméter értékétől függetlenül) $\dfrac{14}{9} $.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba