Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az $ y = x $ és az $ y = -2x + 2 $ egyenletű egyenes, valamint az $ y = x^3 -x $ $(0 \le x \le 1) $ egyenletű görbe fogja közre.
a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0; 0) és (1; 0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!
Adott az $ f : \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} ; f ( x) = - x^ 3 + kx $ függvény ($ k $ valós paraméter). Az $ f $ függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az $ x = 1 $, illetve az $ x = 2 $ abszcisszájú pontjában.
b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a $ k $ paraméter értékétől függetlenül) $\frac{14}{9} $.
 

Megoldás:

a) $ 84\,\text{m}^2 $

b) Igaz az állítás