Ábrázolja a [–3; 6] intervallumon értelmezett $x \mapsto \left | x-2 \right |-3$ függvényt!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ABCDEFGH$ kocka élhosszúsága 6 cm.

a) Számítsa ki az ábrán látható $ABCDE$ gúla felszínét!

b) Fejezze ki az $\overrightarrow{EC}$ vektort az $\overrightarrow{AB}$ , az $\overrightarrow{AD}$ és az $\overrightarrow{AE}$ vektorok segítségével!

Egy 12 cm magas forgáskúp alapkörének sugara 6 cm.

c) Mekkora szöget zár be a kúp alkotója az alaplappal?

A fenti forgáskúpot két részre vágjuk az alaplap síkjával párhuzamos síkkal. Az alaplap és a párhuzamos sík távolsága 3 cm.

d) Számítsa ki a keletkező csonkakúp térfogatát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyek azok a tízes számrendszerben kétjegyű természetes számok, amelyekben a számjegyek számtani és harmonikus közepének a különbsége 1?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozza meg az alábbi adatsor terjedelmét, átlagát és szórását! 1; 1; 1; 1; 3; 3; 3; 5; 5; 7

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy forgáskúp alapkörének sugara 5 cm, magassága 9 cm hosszú. Számítsa ki a kúp térfogatát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
A: Minden valós szám abszolút értéke pozitív.
B: $ 16^{\dfrac{1}{4}}=2$
C: Ha egy szám osztható 6-tal és 9-cel, akkor biztosan osztható 54-gyel is.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! $ 7-2\cdot (x+5)=\dfrac{x+6}{4}+\dfrac{x+2}{2}$

b) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! $x^2-x-2\leq 0$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ p $ valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett $ f $ függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya$ f (x) = -3x^3 + ( p - 3)x^2 + p^2x - 6 $.

a) Számítsa ki a $ \int\limits_{0}^{2}f(x) dx $ határozott integrál értékét, ha $ p = 3 $.

b) Határozza meg a $ p $ értékét úgy, hogy az $ x = 1 $ zérushelye legyen az $ f $ függvénynek!

c) Határozza meg a $ p $ értékét úgy, hogy az $ f $ függvény deriváltja az $ x = 1 $ helyen pozitív legyen!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredménnyel zárult. A versenyen induló négy csapatból a győztes csapat pontszáma $ \dfrac{4}{ 3} $-szorosa a második helyen végzett csapat pontszámának. A negyedik, harmadik és második helyezett pontjainak száma egy mértani sorozat három egymást követő tagja, és a negyedik helyezettnek $ 25 $ pontja van. A négy csapatnak kiosztott pontok száma összesen $ 139 $.

a) Határozza meg az egyes csapatok által elért pontszámot!

Mind a négy csapatnak öt-öt tagja van. A vetélkedő után az induló csapatok tagjai között három egyforma értékű könyvutalványt sorsolnak ki (mindenki legfeljebb egy utalványt nyerhet).

b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az utalványokat három olyan főiskolás nyeri, akik mindhárman más-más csapat tagjai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ b $ élhosszúságú kocka felszíne $ 13,5 cm^2 $. Mekkora a felszíne egy $ 2b $ élhosszúságú kockának? Megoldását részletezze!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Válassza ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a következőnek! "Volt olyan nap a múlt héten, amikor esett az eső."

A: A múlt héten minden nap esett az eső.
B: A múlt héten egyik nap sem esett az eső.
C: Nem volt olyan nap a múlt héten, amikor esett az eső.
D: Volt olyan nap a múlt héten, amikor nem esett az eső.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 2014 végén készült előrejelzés szerint az Indiában élő tigrisek t száma az elkövetkező években (az egyes évek végén) megközelítőleg a következő összefüggés szerint alakul: $t(x)=3600 \cdot 0,854^x$, ahol x a 2014 óta eltelt évek számát jelöli.

a) Számítsa ki, hogy az előrejelzés alapján 2016 végére hány százalékkal csökken a tigrisek száma a 2014-es év végi adathoz képest!

b) Melyik évben várható, hogy a tigrisek száma 900 alá csökken?

Egy állatkert a tigrisek fennmaradása érdekében tenyésztő programba kezd. Beszereznek 4 hím és 5 nőstény kölyöktigrist, melyeket egy kisebb és egy nagyobb kifutóban kívánnak elhelyezni a következő szabályok mindegyikének betartásával:

(I) háromnál kevesebb tigris egyik kifutóban sem lehet;

(II) a nagyobb kifutóba több tigris kerül, mint a kisebbikbe;

(III) mindkét kifutóban hím és nőstény tigrist is el kell helyezni;

(IV) egyik kifutóban sem lehet több hím, mint nőstény tigris.

c) Hányféleképpen helyezhetik el a 9 tigrist a két kifutóban? (A tigriseket megkülönböztetjük egymástól, és két elhelyezést eltérőnek tekintünk, ha van olyan tigris, amelyik az egyik elhelyezésben más kifutóban van, mint a másik elhelyezésben.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy számtani sorozat első tagja -7, a nyolcadik tagja 14. Adja meg n lehetséges értékeit, ha a sorozat első n tagjának összege legfeljebb 660.

b)  Egy mértani sorozat első tagja ugyancsak -7, a negyedik tagja -189. Mekkora az n, ha az első n tag összege -68 887?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy fafajta törzsének keresztmetszetét vizsgáljuk egy adott magasságban. Ez a kereszt- metszet a fa 5 és 20 éves kora közötti növekedése során (jó közelítéssel) mindvégig kör alakúnak tekinthető. A kör átmérőjét a $d: [5; 20] \rightarrow \mathbb{R}, d(x) = -0, 25x^2 + 20 x + 40$ függvény adja meg, ahol $x$ a fa években mért életkorát, $d(x)$ pedig az átmérő milliméterben mért hosszát jelöli.

a) Hány cm a törzs keresztmetszetének átmérője akkor, amikor a fa éppen 10 éves?

b) Hány $dm^2$-rel nő a fatörzs keresztmetszetének területe a 11. évben? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

c) Hány éves a fa akkor, amikor a törzs keresztmetszetének kerülete éppen 1 méter?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik számot rendeli az $x \mapsto \sqrt[3]{4x-1};\quad(x\in \mathbb{R})$   függvény a 7-hez?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az a és b vektorok $ 120^{\circ}$-os szöget zárnak be egymással, mindkét vektor hossza 4 cm. Határozza meg az a + b vektor hosszát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy egy szabályos dobókockával egyszer dobva a dobott szám osztója a 60-nak! Válaszát indokolja!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számítsa ki az alábbi háromszögben a $ 30 ^\circ $-os szöggel szemközti oldal hosszát! Megoldását részletezze!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adja meg azt az x valós számot, amelyre $ \log_2x=-3 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az asztalon összesen 36 darab színes papír sokszög van, egy részük háromszög alakú, a többi négyszög alakú. Mindegyik vagy piros, vagy kék színű. 24 sokszög piros, 27 pedig háromszög alakú. Kék négyszögből 5 darab van.

a) Hány piros háromszög van az asztalon?

A 36 sokszögből véletlenszerűen kiválasztunk kettőt (visszatevés nélkül).

b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét választott sokszög háromszög?

Adott egy háromszög három csúcsa a koordinátasíkon: $ A(1; 2) $, $ B(5; 0) $ és $ C(6; 7) $.

c) Igazolja, hogy az $ ABC $ háromszög egyenlő szárú!

d) Határozza meg az $ ABC $ háromszög területét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ábrán látható diagram egy végzős évfolyam négy osztályában mutatja a fiúk és a lányok számát.

a) A legkisebb létszámú osztályban a lányok száma hány százaléka a fiúk számának?

b) Töltse ki az alábbi táblázatot, majd határozza meg a 4 adat terjedelmét, átlagát és szórását!

A 12.B osztályban a lányok év végi matematikajegyeinek átlaga 4,5, az egész osztály matematikajegyeinek átlaga pedig 4,1 volt.
c) Mennyi volt a 12.B osztályban a fiúk átlaga matematikából év végén?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy textilgyár felmérést készített, hogy a vásárlói igényeknek megfelelő arányban gyárthassa le törölközőit. Megkérdeztek 500 járókelőt arról, hogy négy lehetséges szín közül melyik színben vásárolnának legszívesebben ilyen törölközőt. Az alábbi táblázatban látható a felmérés eredménye.

A gyár a válaszoknak megfelelő arányban határozta meg az egyes színekből készülő törölközők darabszámát.
a) Számítsa ki, hogy hány kék, sárga, piros, illetve zöld törölközőt gyártottak, ha összesen 10 000 darab készült! A darabszámokat százasokra kerekítve adja meg! Négy kék, két sárga és egy piros törölköző közül (visszatevés nélkül) véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét törölköző sárga lesz?
A textilgyárban dolgozók között tavaly háromszor annyi nő volt, mint férfi. Idén felvettek még 70 nőt és 6 férfit, így már négyszer annyi nő dolgozik a gyárban, mint férfi.
c) Hány nő és hány férfi dolgozója van a gyárnak idén?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Zsófi gyertyákat szeretne önteni, hogy megajándékozhassa a barátait. Öntőformának egy négyzet alapú szabályos gúlát választ, melynek alapéle 6 cm, oldaléle 5 cm hosszúságú. Egy szaküzletben 11 cm oldalú, kocka alakú tömbökben árulják a gyertyának való viaszt. Ezt megolvasztva és az olvadt viaszt a formába öntve készülnek a gyertyák. (A számítások során tekintsen el az olvasz- tás és öntés során bekövetkező térfogatváltozástól.)

a) Legfeljebb hány gyertyát önthet Zsófi egy 11 cm oldalú, kocka alakú tömbből?

Zsófi az elkészült gúla alakú gyertyák lapjait szeretné kiszínezni. Mindegyik lapot (az alaplapot és az oldallapokat is) egy-egy színnel, kékkel vagy zölddel fogja színezni.

b) Hányféle különböző gyertyát tud Zsófi ilyen módon elkészíteni? (Két gyertyát különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők egymásba.)

Zsófi a gyertyák öntéséhez három különböző fajta „varázskanócot” használ. Mindegyik fajta „varázskanóc” fehér színű, de meggyújtáskor (a benne lévő anyagtól függően) az egyik fajta piros, a másik lila, a harmadik narancssárga lánggal ég. Zsófi hétfőn egy dobozba tesz 6 darab gyertyát, mindhárom fajtából kettőt-kettőt. Keddtől kezdve minden nap véletlenszerűen kivesz egy gyertyát a dobozból, és meggyújtja.

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány éle van egy 8 pontú teljes gráfnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a) $ 5^{x+1}+5^{x+2}=30$

b) $\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+2}=1$, ahol $x \ne 0$ és $x \ne -2$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A statisztikai adatok szerint a közúti balesetek gyakori okai között minden évben szerepel a járművezetők figyelmetlensége, a gondatlan vezetés.

a) Egy autó az autópályán 120 km/h sebességgel halad, és a sofőr 1,5 másodpercig nem figyel az útra. Hány métert tesz meg az autó ennyi idő alatt?

A gyorshajtás szintén a gyakori baleseti okok között szerepel. A tapasztalatok szerint, ha egy sofőr betartja az autópályán a 130 km/h sebességhatárt, akkor az átlagsebessége legfeljebb 120 km/h körül alakulhat. A Siófok–Budapest távolság közelítőleg 100 km.

b) Számítsa ki, hogy hány perccel rövidebb idő szükséges a Siófok–Budapest távolság megtételéhez, ha 120 km/h átlagsebesség helyett átlagosan 130 km/h-val teszi meg ezt a távot egy autó!

2018 januárjában Magyarországon összesen 1178 személyi sérüléssel járó közúti baleset történt, melyek közül 440 esetben a gyorshajtás volt a fő ok. A balesetek okainak meg- oszlását egy kördiagramon szeretnénk ábrázolni.

c) Mekkora középponti szög tartozik a kördiagramon a gyorshajtáshoz? Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy szám $\dfrac{5}{6}$ részének a 20%-a 31. Melyik ez a szám? Válaszát indokolja!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű $\overline{361X}$ szám 6-tal osztható?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kockajátékban egy menet abból áll, hogy szabályos dobókockával kétszer dobunk egymás után. Egy dobás 1 pontot ér, ha négyest, vagy ötöst dobunk, egyébként a dobásért nem jár pont. A menetet úgy pontozzák, hogy a két dobásért járó pontszámot összeadják. 

a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy menetben 1 pontot szerzünk, és azt az első dobásért kapjuk?

b) Minek nagyobb a valószínűsége,

- annak, hogy egy menetben szerzünk pontot, vagy

- annak, hogy egy menetben nem szerzünk pontot?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A derékszögű koordináta-rendszerben az $ ABC $ háromszög csúcsai: $ A(2; 1) $, $ B(7;-4) $, $ C(11; p) $. Határozza meg a $ p $ paraméter pontos értékét, ha a háromszög $ B $ csúcsánál levő belső szöge $ 60^\circ $-os.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba