Egy 10 tagú csoport minden tagját megkérték, írjanak le három különböző pozitív egész számot. Később kiderült, hogy bármely két ember számai között volt legalább egy azonos. Az 1-es számot éppen n ember választotta és semelyik más számot nem választották ennél többen. Mi lehetett n értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

2. Az ABC hegyesszögű háromszögben AC ̸= BC. A háromszög köré írt kör középpontját jelölje O, magasságpontját pedig M . Az A, B és C csúcsokhoz tartozó magasságok talppontjai legyenek rendre A1 , B1 és C1 . Jelölje D a C csúcsnak az A1 B1 egyenesre vonatkozó tükörképét. Igazoljuk, hogy az O, M , D és C1 pontok egy körre illeszkednek.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy minden $n\ge2$ egész számra:

$\sqrt{1-\dfrac{1^2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{2^2}{n^2}}+\ldots+\sqrt{1-\dfrac{(n-1)^2}{n^2}} > \dfrac{3n-4}{4}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba