A P pont végigfut egy kör félkörnél rövidebb AB ívén. Legyen P* a P-vel átellenes pont a körön. Bizonyítsuk be, hogy $AP*\cdot BP*-AP \cdot BP$ állandó.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány N pozitív egészre teljesül, hogy N/5 egy egész szám hetedik, N/7 pedig egy egész szám ötödik hatványa?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen P az ABC szabályos háromszög belső pontja, továbbá A1, B1 és C1 a P pont merőleges vetülete rendre a BC, CA, illetve AB oldalon. Bizonyítsuk be, hogy /p>

$AC_1\cdot BA_1+BA_1\cdot CB_1+CB_1\cdot AC_1=C_1B\cdot A_1C+A_1C\cdot B_1A+B_1A\cdot C_1B$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott n ember között hányféle olyan ismeretségi kapcsolatrendszer lehet, hogy mindenki páratlan sok másikat ismer (az ismeretség kölcsönös)?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $a_1\le a_2 \le \ldots \le a_n \le b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n$ valós számok. Bizonyítsuk be, hogy

 $\left ( a_1+a_2+\ldtos +a_n+b_1+b_2+\ldots +b_n \right )^2$ $\ge 4n \left( a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_bb_n \right )^2$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba