Egy sorozat első tagja egy 1-nél nagyobb $ a_1 $ pozitív egész szám. Ha $ n > 1 $, akkor a sorozat $ n $-edik $ a_n $ tagját a következőképpen kapjuk: ha az $ a_{n-1} $ legnagyobb prímosztója $ p $, akkor $ a_n = a_{n-1} + p $. Határozzuk meg az összes olyan $ a_1 $ kezdőértéket, amelyre a sorozat valamelyik tagja $ 2022 $!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!

$ \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ H $ halmaz elemei pozitív egész számok. Teljesül továbbá, hogy $ 1 \in H $ és $ 2 \in H $, valamint bármely két $ H $-beli elem összege nem eleme $ H $-nak. Bizonyítsuk be, hogy a $ H $ halmaz $ k $-nál $ k $ kisebb elemeinek száma kisebb, mint $ \dfrac{k}{3}+2 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ egyenlő oldalú háromszög két oldalát is meghosszabbítjuk: $ BC $ oldalát $ C $ irányában $ D $-ig, $ BA $ oldalát pedig $ A $ irányában $ E $-ig úgy, hogy $ BD = AE $ teljesüljön. Igazoljuk, hogy az $ ECD $ háromszög egyenlő szárú!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba