Az $ M_1 = \left\{ 1 \right\} $, $ M_ = \left\{ 3, 5 \right\} $, $ M_3 = \left\{ 7, 9, 11 \right\} \ldots $ halmazokat úgy készítettük, hogy növekvő sorrendben vettük a pozitív egészek közül a páratlan számokat és az első halmazba tettünk egyet, a másodikba a következő kettőt és így tovább. Így az $ M_n $ halmaz elemei az $ n $-nél kisebb indexű halmazokban nem szereplő számok közül a nagyság szerint soron következő $ n $ darab páratlan szám. Határozzuk meg az $ M_{100} $ halmazban levő számok összegét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Panka és Noémi memória kártyajátékot játszanak. A kártyapakli 32 lapból áll, ezek között 16 féle található, mindegyik fajtából éppen kettő van. A lapokat összekeverve az asztalra helyezzük úgy, hogy mindegyiknek a hátlapja látható.játékosok felváltva jönnek, a soron következő a kártyák közül kettőt megfordít egymás után. Ha párt talált, felveszi és megtartja őket, és újra ő következik. Ha nem párt talál, visszafordítja, és a társa következik. Feltételezzük, hogy a játékosok minden felfordított lapra emlékeznek és már ismert lapot csak akkor fordítanak meg, ha megtaláltákpárját. A játék egy pillanatában már csak 8 lap maradt lenn az asztalon, és még egyik sem lett megfordítva. Ebből a helyzetből indulva válaszoljuk meg az alábbi két kérdést, melyek egymástól függetlenek:

a) Mekkora az esélye, hogy a soron következő Panka begyűjti a megmaradt lapokat anélkül, hogy Noémi sorra kerülne?

b) Mekkora az esélye, hogy a soron következő húzásnál Panka sem, majd utána Noémi sem talál párt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet $ BC $ oldala, mint átmérő fölé kört rajzolunk. A $ D $ pontból a körhöz húzott érintők érintési pontjai $ C $ és $ E $ . A négyzet $ AB $ oldalának és a $ DE $ érintő egyenesnek a metszéspontja legyen $ F $. Az $ AB $ oldalnak és a $ CE $ egyenesnek a metszéspontja legyen $ G $. Hányad része az $ EFG $ háromszög területe a négyzet területének?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az $ 1,2, \ldots, 10 $ számokat valamilyen sorrendben, jelölje őket $ a_1 , a_2, ..., a_{10} $. Legyen $ b_ = a_1,\ b_2 = a_1 + a_2,\ b_3 = a_1 + a_2 + a_3,\ \ldots ,\ b_{10} = a_ + a_2 + ... + a_{10} $ . Hányféle olyan $ a_1 , a_2, ..., a_{10} $ sorrend van, ahol a $ b_1 , b_2, ..., b_{10} $ számok közül egyik sem osztható 3-mal?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

$ \dfrac{x^ {205}+x^{195}}{x^ {201}+x^ {199}} =  \dfrac{205}{16} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba