A tízes számrendszerben felírt $ x $ pozitív egész szám számjegyeinek összege 7, a számjegyek szorzata 6, és az $ x $ szám osztható 16-tal. Határozza meg az összes ilyen számot.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hányféle módon állítható elő a $ 2018 $ legalább két egymást követő pozitív egész szám összegeként?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy ládában megromlott a benne levő almák egy része. Eltávolítunk 10 hibás almát, így annak a valószínűsége, hogy a maradékból véletlenszerűen kivéve egy almát, az hibás lesz, felére csökken az eredetihez képest. Ezután még 5 hibás almát kiveszünk. Ezzel annak a valószínűsége, hogy a maradékból véletlenszerűen egyet kivéve, a kivett alma hibás lesz, az egyötödére csökken az eredeti állapothoz képest. Hány jó alma volt a ládában?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ húrnégyszög $ AC $ átlója a húrnégyszög körülírt körének átmérője. Bizonyítsa be, hogy a négyszög szemközti oldalainak a $ BD $átlóra eső merőlegesvetületei egyenlő hosszúak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A mellékelt ábra szerinti táblán korongokkal játszunk. Induláskor 3 korong van a táblán, a rajzon ezeket a nagyobb körök jelzik. Két pont szomszédos, ha él köti össze őket. A tábla szabad pontjaiba egyenként további korongokat akarunk helyezni úgy, hogy ha a feltett korongnak van közvetlen szomszédja (egy vagy több), akkor a szomszédok közül pontosan egyet kötelező levenni. A játék folyamán mennyi lehet a táblán lévő korongok

a) minimális száma?

b) maximális száma?

c) Adjon meg egy eljárást a maximális érték eléréséhez.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ trapéz párhuzamos oldalai $ AB $ és $ CD, $ amelyekre $ AB > CD, $ továbbá teljesül, hogy a trapéz $ AD $ szára merőleges $ AB $-re. Az $ AD $ szár, mint átmérő fölé szerkesztett kör a $ BC $ szárat érinti. Jelöljük a trapéz átlóinak metszéspontját $ E $-vel és húzzunk az $ E $ ponton át párhuzamost az $ AB $ oldallal, ez az egyenes a $ BC $ szárat az $ F $ pontban metszi. Az $ AD $ szár felezőpontját $ O $-val jelöljük. Bizonyítsa be, hogy $ AF || C $ és $ OF \perp BC. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba