Legyen az ABC háromszögben az A, illetve B csúcsból húzott magasság talppontja $A_1$, illetve $B_1$, továbbá $a = BC$, $b = AC$, $m_a = AA_1$, $m_b = BB_1$. Bizonyítsuk be, hogy

$ CA_1\cdot CB_1 = ab - m_am_b $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ha k pozitív egész szám, jelölje $p_k$ a k-adik prímszámot (tehát$ p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \ldots$). Vannak-e olyan k és n pozitív egész számok, amelyekre $p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k = 2016^n+10n-26$?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a egyenletet a

$\dfrac{16}{3}x^4+\dfrac{1}{6x^2}=\sin(\pi x)$

valós számok halmazán.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy bármely adott (nem feltétlenül konvex) négyszöghöz található olyan pont, hogy a négyszögnek erre a pontra vonatkozó középpontos tükörképe az eredeti négyszög területének legalább a harmadrészét lefedi.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tegyük fel, hogy az $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ független események valószínűsége legfeljebb 1/2. Mutassuk meg, hogy annak a valószínűsége, hogy közülük pontosan egy következik be, szintén legfeljebb 1/2.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba