Az $ ABCD $ síkbeli négyszög átlóinak (konkáv négyszög esetében az átlóegyeneseinek) metszéspontja $ M $, az $ AMB $, $ BMC $, $ CMD $ és $ DMA $ háromszögek súlypontjai rendre a $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ pontok, a $ BCD $, $ ACD $, $ ABD $ és $ ABC $ háromszögek súlypontjai pedig rendre az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok. Bizonyítsuk be, hogy az $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $ pontok a $ PQRS $ négyszög oldalegyenesein vannak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ f $ a pozitív valós számokon értelmezett valós értékű függvény, amelyre minden $ x, y $ esetén $ f (xy) \le xf (y) $. Igazoljuk, hogy minden $ x, y $-ra $ f (xy) = xf (y) $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A térbeli $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ és $ E $ pontok közül semelyik négy sem esik egy síkba. Az $ A $ és $ B $ pontokat elválasztja a $ CDE $ sík (vagyis $ A $ és $ B $ a $ CDE $ sík különböző oldalára esik). Hasonlóan, $ B $-t és $ C $-t elválasztja az $ ADE $ sík, $ C $-t és $ D $-t elválasztja az $ ABE $ sík. Mutassuk meg, hogy ekkor $ D $ és $ E $ az $ ABC $ síknak ugyanarra az oldalára esik.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van-e olyan, valós számokból álló, a $ [0, 1] $ intervallumba eső A végtelen halmaz, amely nem tartalmaz háromtagú számtani sorozatot, de bármely két $ A $-beli elem közé is esik $ A $-beli elem?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely $ n \ge 2007 $ egészek rendelkeznek az alábbi tulajdonsággal: bármely három különböző, $ n $-nél nem nagyobb és az $ n $-hez relatív prím pozitív egész összege is relatív prím $ n $-hez?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba