Tekintsük kétjegyű számoknak egy olyan halmazát, melynek bármnely két eleme relatı́v prı́m, és teljesül az is, hogy ha egy szám eleme a halmaznak, akkor a számjegyek felcserélésével kapott szám szintén eleme a halmaznak. Mennyi az elemszáma a halmaznak, ha az a lehető legtöbb?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9 A_{10} $ tı́zszöget úgy kaptuk hogy, két egységoldalú szabályos hatszöget összeillesztettünk az egyik oldaluk mentén. A $ P $ pont a sı́knak olyan pontja, amire az $ M = PA^2_1 + PA^2_2 + PA^2_3 + PA^2_4 + PA^2_5 + PA^2_6 + PA^2_7 + PA^2_8 + PA^2_9 + PA^2_{10} $ összeg minimális. ($ AB^2 $ az $ AB $ szakasz hosszának négyzetét jelöli.) Mennyi $ 4M $ értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mennyi a $ -72x^3 + 48x^2 - 12x + 1 $ polinomban a valós gyökök összegének $ 72 $-szerese?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Petinek van néhány épı́tőeleme, mindegyik elem néhány 1×1-es négyzetlapból áll, melyeket oldalaiknál összeragasztottak. Legyen $ S \subseteq \left\{ 1, 2, 3, ..., 7 \right\} $ az a halmaz, melyre $ n \le 7 $ esetén Peti akkor és csak akkor tud letapétázni egy 4 × n-es táblát néhány épı́tőelemmel, ha $ n \in\  S $. Hányféle lehet az $ S $ halmaz? ($ S $ lehet üres is.) (Egy tapétázás szabályos, ha minden négyzet pontosan egy épı́tőelemmel van lefedve és az épı́tőelemek nem lógnak le a tábláról.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A Minótaurusz visszatér. A labirintus a négyzetrácson egy 23 × 23 rácsnégyzetből álló négyzet, melynek oldalsó falai a négyzet kerületének összes rácsponttól rácspontig terjedő szakaszából áll. Ezen kı́vül a téglalapon belül szintén van néhány rácsponttól rácspontig terjedő szakasz méghozzá úgy, hogy a téglalap bármely egységnégyzetéből bármelyik másikba pontosan egyféleképpen lehet eljutni, leszámı́tva azokat az utakat, amelyek valamelyik egységnégyzeten többször is áthaladnak. A Minótaurusz most valamelyik egységnégyzetbe áll. Egy lépésben átléphet egy szomszédos négyzetbe, ha a két négyzet között nincsen fal. (Két négyzet szomszédos, ha van közös oldaluk.) Legalább hány lépésre van szüksége, hogy minden egységnégyzetbe eljusson egyszer, függetlenül a labirintus alakjától és attól, hogy honnan indul? (A Minótaurusz minden esetben ismeri, hogy hogyan néz ki a labirintusa.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ a_1 = 2, a_2 = 1 $ továbbá minden $ n \ge 3 $ esetén

$ a_n=\dfrac{\sqrt{8a_{n-1}^3aa_{n-2}}\left( n^2-3n+2 \right)}{2^{n-1}+2na_{n-1}-a_{n-1}} $

A sorozat első 25 eleme közül mennyi az egészek összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Gergő születésnapjára kapott egy füzetet, melybe azóta minden vasárnap lejegyzi a következő oldalra az adott nap dátumában a hónap és a nap számának összegét. Egyik hétfőn húga, Hanna megnézte a füzetbe ı́rt számokat és megállapı́totta, hogy azok alapján nem tudja kitalálni az adott nap dátumát, de egy hét múlva már meg fogja tudni állapı́tani ezt. Hány vasárnap telt el Gergő születésnapja óta?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ $ függvényre minden $ x, y > 0 $ valósakra teljesül, hogy

$ (x-y)f(x+y)+f\left( \dfrac{x}{y} \right) = (x^2+y^2)f\left( x(x+y) \right) $

Mennyi

$ \dfrac{f(1)}{f(1)}+ \dfrac{f(1)}{f(2)}+ \ldots + \dfrac{f(1)}{f(10)} $

értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik az a legkisebb pozitı́v egész $ n > 1 $, amire az első $ n $ (nem nulla) négyzetszám átlaga is négyzetszám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Karácsonykor egy 64 fős évfolyam úgy ünnepelt, hogy egymásnak énekeltek. Minden dalt az évfolyam néhány tagja mutatta be, összesen k dalt adtak elő és minden diák minden másik évfolyamtársát hallgatta legalább egyszer nézőként. Legalább mennyi k?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba