1. találat: Kavics Kupa 2011 1. feladat Témakör: *Számelmélet (hatvány) (Azonosító: kk_2011_01f ) Egy háromjegyű $A$ szám rímelő, ha $A$ minden pozitív egész kitevőjű hatványa $A$ -ra végződik. Mennyi a rímelő számok összege? Témakör: *Számelmélet (palindrom) (Azonosító: kk_2011_02f ) Mennyi a háromjegyű palindromszámok átlaga? Témakör: *Algebra (sorozat) (Azonosító: kk_2011_03f ) Az $f: N\rightarrow N$ függvényre $f(1)=1, f(2n)=f(n),f(2n+1)=f(2n)+1$ bármely pozitív egész $n$ esetén. Határozzuk meg az $f$ függvény maximumát, ha $ 1\leq n \leq 5012$ . Témakör: *Geometria (paralelogramma) (Azonosító: kk_2011_04f ) Egy adott $ABCD$ paralelogramma oldalait osszuk fel az óramutató járásával ellentétes irányban haladva ciklikusan $k:l$ arányban és az osztópontokat kössük össze az azonos körüljárás szerinti harmadik csúccsal. Mekkorának kell választanunk a $k:l$ arányt, hogy a keletkező $A'B'C'D'$ paralelogramma területe egytizenharmad része legyen a megadott $ABCD$ paralelogramma területének? Témakör: *Gráfelmélet (reguláris gráf) (Azonosító: kk_2011_05f ) Egy $ 3$-reguláris egyszerű gráfban minden kör legalább hat élet tartalmaz. Legalább hány csúcsa van a gráfnak? Témakör: *Algebra (maximum, másodfokú) (Azonosító: kk_2011_06f ) Határozzuk meg az $x^{2}-y^{2}+x+10y-23=0$ egyenlet egész megoldásai közül azt, amelyre maximális lesz az $|y-x|$ értéke. Mennyi ez a maximum? Témakör: *Algebra (minimum) (Azonosító: kk_2011_07f ) Az Óperenciás tengeren is túl, az üveghegyen kerül megrendezésre a "Lábasfejűek Nemzetközi Konferenciája". A konferencia résztvevői -összesen 14 lábasfejű - a hegy lábánál gyülekeznek, lábaik száma rendre: 18, 22, 22, 24, 28, 30, 30, 30, 30, 32, 36, 36, 38, 38. Az üveghegy fala rendkívül csúszós; ahhoz, hogy egy lábasfejű feljuthasson, speciális mászócipőt kell húznia legalább minden második lábára. A lények (megfelelő számú cipő viselése mellett) fel és le közlekedhetnek a hegyen, de a cipőket kizárólag lábon szállíthatják. Legalább hány mászócipő szükségeltetik a feljutáshoz? Témakör: *Algebra (minimum) (Azonosító: kk_2011_08f ) Az $ABC\triangle$ belső pontja $P$ . Az $AP$ egyenes a $BC$ oldalt $A_{1}$ -ben, a $BP$ egyenes az $AC$ oldalt $B_{1}$ -ben metszi. Az $APB_{1}\triangle$ területe 7, a $BPA\triangle$ területe 8, az $A_{1}PB\triangle$ területe pedig 9. Mekkora az $ABC\triangle$ területe? Témakör: *Kombinatorika (sorrend) (Azonosító: kk_2011_09f ) Hányféleképpen lehet $ 2$ fekete, $ 3$ fehér és $ 4$ piros, a színtől eltekintve egyforma golyót egy sorban úgy elhelyezni, hogy fekete golyó ne kerüljön fehér mellé? Témakör: *Algebra (másodfokú) (Azonosító: kk_2011_10f ) Adjuk meg az alábbi egyenlet legkisebb és legnagyobb gyökének szorzatát $p/q$ alakban, ahol a tört már nem egyszerűsíthető. Mennyi lesz a $|p|+|q|$ értéke? $ 7\sqrt{4x^{2}+5x-1}-14\sqrt{x^{2}-3x+3}=17x-13$ Témakör: *Geometria (kör) (Azonosító: kk_2011_11f ) Egy $d = \sqrt{1001} + \sqrt{999}$ átmérőjű $k$ körbe két kört írunk, amelyek kívülről érintik egymást és mindketten érintik a $k$ kört is. A három kör középpontja egy egyenesre esik. A két beírt kör közös belső érintőjének a $k$ belsejébe eső szakasza $\sqrt{2000}$ hosszúságú. A két beírt kör összesen $\pi\cdot A$ területű részét nem fedi le a k körnek. Mennyi az $A$ értéke? Témakör: *Geometria (téglatest) (Azonosító: kk_2011_12f ) Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza $ 7, 14$ és $ 21$ egység. Adjuk meg annak a szomszédos lapokon elhelyezkedő két kitérő lapátlónak a távolságnégyzetét, amelyekre ez a távolság maximális. Témakör: *Kombinatorika (cédula) (Azonosító: kk_2011_13f ) $ 100$ cédulára felírtuk a pozitív egészeket $ 1$ -től $ 100$ -ig és betettük a cédulákat egy dobozba. A dobozból egyesével, visszatevés nélkül cédulákat húzunk. A húzás akkor ér véget, ha a kihúzott számok között $ 6$ különböző szerepel. Jelöljük $X(i)$ -vel az $i$ -edik olyan kihúzott számot, amelyik minden korábbitól különbözik. Az $X(i)$ értéket rekordnak nevezzük, ha minden korábban kihúzott számnál nagyobb. Határozzuk meg az $X(1), X(2), \dotsX(6)$ sorozatban a rekordok számának várható értékét tovább nem egyszerűsíthető törtalakban. Mennyi e tört számlálójának és nevezőjének szorzata? Témakör: *Geometria (parabola, kör) (Azonosító: kk_2011_14f ) Egy kör az $y=x^{2}$ egyenletű parabolát két pontban metszi és egy pontban érinti. A két metszéspont abszcisszája $x_{1}=-888$ és $x_{2}=-3104$ . Határozzuk meg az érintési pont abszcisszáját. Témakör: *Kombinatorika (geometria) (Azonosító: kk_2011_15f ) Az ábrán látható háromszög oldalai mentén az üres körökben elhelyeztük az egyjegyű pozitív számok négyzeteit, mindegyiket egyszer felhasználva úgy, hogy a háromszög bármely oldala mentén ugyanakkora lett a négy szám összege. Mennyi a csúcsokba írt számok összege? Témakör: *Kombinatorika (mérleg) (Azonosító: kk_2011_16f ) Van 64 darab páronként különböző tömegű érménk. Egy kétkarú mérleg segítségével ki akarjuk választani a legkönnyebbet és a második legnehezebbet. Mennyi a legkevesebb mérés, amellyel ez biztosan sikerül? Témakör: *Geometria (trigonometria) (Azonosító: kk_2011_17f ) Egy négyszög három egymás után következő oldalának hossza rendre $ 29, 10$ , illtve $ 17$ méter. Adva van még az első két megadott oldal által bezárt szög tangense $tg\alpha=\dfrac{21}{20}$ , továbbá a második és harmadik oldal által bezárt szög szinusza $sin\beta=-\dfrac{8}{17}$ . Mekkora a negyedik oldal négyzete? Témakör: *Kombinatorika (domino) (Azonosító: kk_2011_18f ) A $ 0$ -tól $ 8$ -ig számozott dominókból Annának teljes készlete van. (A készletben vannak az üres-üres, $ 1-1,\ldots , 8-8$ darabok is, és minden fajtából csak egyetlen darab van.) Anna találomra kiválaszt egy dominót, majd a maradékok közül Béla véletlenszerűen húz kettőt. Jelölje $p/q$ annak a valószínűségét, hogy Béla dominói párosíthatók. ( $p, q$ pozitív egész számok és relatív prímek.) Mennyi $p+q$ értéke? Témakör: *Geometria (kör) (Azonosító: kk_2011_19f ) Egy $a, b, c$ oldalú háromszög körülírt körének sugara $R$ . Ismeretes, hogy két olyan, egymáshoz nem hasonló $H_1$ és $H_2$ háromszög létezik, amelyekben $ R=a-b$ és $R^{2}=ab$. Hány fok $H_1$ és $H_2$ legnagyobb szögének összege? Témakör: *Geometria (tetraéder, térfogat) (Azonosító: kk_2011_20f ) Egy tetraéder minden csúcsában egy-egy $ 5, \sqrt{34}$ és egy $\sqrt{41}$ hosszúságú él találkozik. Mekkora a tetraéder térfogata?
|
|||||
|