Négyzetszám-e a $ 2^{222} + 3^{333} + 4^{444} + 5^{555} $ ? Válaszodat indokold!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy $ 3 \times 3 $-as négyzet mezőit kiszínezzük a piros, kék, zöld színek valamelyikével az alábbi feltételek szerint:

– az egyik sor mezői egyszínűek,

– egy másik sor kis négyzetei kétféle színnel vannak színezve,

– a harmadikféle sor mezői páronként különböző színűek.

Hányféleképpen valósítható meg a feltételeknek megfelelő színezés?

b) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat beírjuk egy $ 3 \times 3$-as négyzet egy-egy mezőjébe úgy, hogy bármely két szomszédos szám szomszédos (közös éllel rendelkező) négyzetbe kerüljön. A négy sarokmezőbe kerülő számok összege 18. Melyik szám kerül középre?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Megrajzoljuk egy a, b oldalú paralelogramma minden külső szögfelezőjét. Milyen sokszöget zárnak közre? Határozzuk meg a keletkezett sokszög átlóinak hosszát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy konvex $ (2n + 2) $-szögben berajzolunk $ n^2 $ darab átlót. Bizonyítsuk be, hogy a behúzott átlók között lesz olyan, amelyik két páratlan oldalszámú sokszögre vágja szét az eredeti sokszöget.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mi az a racionális szám, amely egyenlő a következő kifejezéssel:

$ \dfrac{2022}{2}+\dfrac{2021}{2^2}+\dfrac{2020}{2^3}+\ldots+\dfrac{4}{2^{2019}}+\dfrac{3}{2^{2020}}+\dfrac{2}{2^{2021}} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba