Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett

$ f(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(x-b)^2+c^2} $

függvényt, ahol $ a $, $ b $, $ c $ pozitív valós számok. Hol veszi fel ez a függvény a minimális értékét?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ f $ függvény egy $ P $ sík minden $ K $ pontjához hozzárendel egy valós számot, amelyre teljesül, hogy $ f (K) = f (A) + f (B) + f (C) $, ha $ K $ az $ ABC $ háromszög súlypontja. Bizonyítsuk be, hogy a sík minden $ X $ pontjára $ f (X) = 0 $!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Ha $ n $ pozitív egész szám, akkor jelöljük $ r(n) $-nel azt a számot, ahányféleképpen n előáll három négyzetszám összegeként (ezek között lehetnek azonosak, és a 0-t is megengedjük, és két felírást azonosnak tekintünk, ha csak a tagok sorrendjében térnek el). Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n pozitív egész szám létezik, amelyre $ r(n) > \dfrac{\sqrt{n}}{100} $. 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba