Mutassuk ki, hogy bármely a, b, c pozitív valós szám esetén, ahol a + b + c = 1, igaz a következő állítás:

$\left(a+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^4+\left(b+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^4+\left(c+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^4\ge1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABC $ háromszög olyan, hogy $ A $-nál és $ B $-nél is hegyesszöge van. Ekkor állítsunk a $ C $ csúcsból merőlegest az $ AB $ oldalra, és jelölje a merőleges talppontját $ T $! Legyen az $ ATC $ háromszögbe írt kör sugara $ r_a $, a $ BTC $ háromszögbe írt kör sugara $ r_b $, az $ ABC $ háromszögbe írt kör sugara $ r $. Bizonyítsuk be, hogy ha $ r + r_a + r_b = CT $, akkor a háromszögnek $ C $-nél derékszöge van!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kullancs kapitány kalózhajóján a matrózoknak pontosan

– kétharmada félszemű;

– háromnegyede falábú;

– négyötöde kampókezű, és

– öthatoda kopasz.

A hajón a matrózok közül pontosan azok a tisztek, akik egyszerre félszeműek, falábúak, kampókezűek, és kopaszok is egyben. A tisztek száma 5, valamint a tisztek matrózoknak is számítanak! Hány fős a kalózhajó legénysége?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba