


1. találat: ARANYD 2022/2023 Kezdő II. kategória döntő 1. feladat Témakör: *Algebra (kombinatorika) (Azonosító: AD_20222023_k2kdf1f ) Az $ (a_n ) $ sorozat tagjait a $ \left\{ 0; 1; 2 \right\} $ halmazból választjuk ki az alábbi szabály szerint:ha $ a_k = j $, akkor $ a_{k+ j} = 0 (k \in \mathbb{N}^+ ) $. Jelölje $ S $ a sorozat első $ 2023 $ tagjának összegét! Határozzuk meg $ S $ lehetséges legnagyobb értékét. Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20182019_h3k1f1f ) Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan konvex nyolcszög, amelynek minden belso szöge ugyanakkora, és az oldalai valamilyen sorrendben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, illetve 8 egység hosszúak. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20192020_h1k2f1f ) Melyik tört a nagyobb, $ \dfrac{2020^{2022}}{2022^{2020}} \text{ vagy } \dfrac{2019^{2021}}{2021^{2019}}$
Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20192020_k1kdf2f ) Hány hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszöget határoznak meg egy szabályos Témakör: *Algebra (egyenletrendszer) (Azonosító: AD_20152016_h1k1f5f ) Hány rendezett (x, y, z) valós számhármas megoldása van az alábbi egyenletrendszernek:
$\begin{cases}x+y+z=11\\ x^2+2y^2+3 z^2=66\end{cases}$
Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_k1k1f1f, AD_20172018_k2k1f1f ) Számítsuk ki az alábbi összeget: $\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots-\dfrac{1}{2018}\right) + \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}-\ldots-\dfrac{2}{2018}\right) + \left(-\dfrac{3}{4}+\ldots-\dfrac{3}{2018}\right) + \ldots + \left(-\dfrac{2017}{2018} \right)$
Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20222023_h2k2f2f ) Az $ a $ és $ b $ pozitív egész számokra teljesül, hogy: $ \dfrac{1}{\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}} - \dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}} =b $ Mi lehet az $ a $ szám utolsó számjegye? Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20222023_h2k1f4f ) Az $ ABCDE $ konvex ötszögben $ AC $ párhuzamos $ DE $-vel és $ BE $ párhuzamos $ DC $-vel. Bizonyítsuk be, hogy az $ AED $ és a $ BCD $ háromszög területe egyenlő! Témakör: *Számelmélet (Azonosító: AD_20182019_k3kdf1f ) Határozzuk meg az összes olyan $ b $ (1-nél nagyobb) természetes számot, amelyre teljesül, hogy minden nem egész, véges tizedes tört alakban felírható pozitív valós szám$ b $ alapú számrendszerbeli "$ b $-edes tört" alakja végtelen szakaszos. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20222023_k3kdf3f ) Legyen $ n \ge 4 $ egész szám. Bizonyítsuk be, hogy minden $ A \subseteq \left\{ 1, \ldots , n \right\} $ halmazhoz található olyan $ B \subseteq \left\{ n + 1, . . . , 2n \right\} $ halmaz, amelyre az $ A \cup B $ halmaz elemeinek szorzata négyzetszám. (Az üres halmaz elemeinek szorzata definíció szerint $ 1 $.) Témakör: *Geometria (szög) (Azonosító: AD_20162017_k1k2f1f, AD_20162017_k2k2f1f, AD_20162017_k3k1f1f ) Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P , az AD és BC egyeneseké pedig Q. Mekkora szöget zár be a P Q egyenes az AB átmérővel? Témakör: *Kombinatorika (tábla, kitöltés) (Azonosító: AD_20162017_h1k2f4f ) Adott egy 8 × 8-as táblázat. Nevezzük főátlónak az a1 – h8 átlót. A főátló alatti mezőket 0-kal töltjük ki, míg a többi mezőbe pozitív egészeket írunk. A kitöltés után kiszámoljuk a sor-, illetve oszlopösszegeket. Lehetséges-e, hogy az 1, 2, 3, . . . , 16 számokat kapjuk eredményül (valamilyen sorrendben)? b) Ha egy 7 × 7-es táblánk van, akkor lehetséges-e, hogy az 1, 2, 3, . . . , 14 számokat kapjuk eredményül (valamilyen sorrendben)? Témakör: *Geometria (kör) (Azonosító: AD_20152016_h2k1f5f ) Egy négy egység sugarú negyedkörbe félköröket írtunk az ábrán látható módon. A két kisebb félkör sugara egyenlő. Ezután megrajzoltuk azt a kört, ami mindhárom félkört érinti. Mekkora ennek a körnek a sugara? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20212022_h1k2f1f ) Anikó és Bea felírták a táblára a pozitív egészeket 1-től 2022-ig. Ezután a következő szabályokat követik: – kiválasztanak a számok közül tetszőleges számút; Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20162017_k3kdf3f ) Tegyük fel, hogy ABCD húrnégyszög, és a k olyan kör, mely a húrnégyszög minden oldalát két pontban metszi. Tekintsük, az ábrán látható módon, az ABCD belsejében létrejövő lA, lB, lC, lD íveket. Bizonyítsuk be, hogy az lA és lC ívek hosszának összege egyenlő az lB és lD ívek hosszának összegével. Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20222023_k1k1f4f, AD_20222023_k2k1f4f ) Egy $ 3 \times 3 $-as táblázat mindegyik mezőjébe $ 0 $-t, $ 1 $-et vagy $ 2 $-t írunk, majd összeadjuk az egy-egy sorban, illetve egy-egy oszlopban szereplő számokat. Lehetséges-e, hogy az így kapott hat szám mindegyike különböző? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20212022_k1kdf2f ) Egy vacsorán a házigazdán kívül $ 2n $ személy vesz részt ($ n $ pozitív egész szám). A házigazda a vacsora végén megkérdezi minden vendégtől, hogy hány emberrel koccintott a jelenlévők közül. Mindenki különböző választ ad. Hány vendéggel koccintott a házigazda? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20222023_h2k2f1f ) Egy sorozat első tagja $ a_1 = 2 $. Tudjuk, hogy a sorozat $ (n + 1) $-edik tagja: $ a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1} $ Határozzuk meg a sorozat $ 2023 $-adik tagját! Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20182019_k1k1f3f, AD_20182019_k2k1f3f ) Egy diáknak öt egymást követő tanítási napon matematika, angol, biológia és fizika tantárgyakból kell dolgozatot írnia ebben a sorrendben úgy, hogy egy napon legfeljebb két dolgozatot írhat. Hányféleképpen oszthatják el a diák dolgozatait az öt napon? (A dolgozatok egy-egy napon belüli konkrét időpontjai nem számítanak.) Témakör: *Geometria (algebra) (Azonosító: AD_20142015_h1k2f2f ) Az ABCD négyzet A csúcsán átmen˝o egyenes a DC oldalt E, a BC oldal meghosszabbítását F pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy $\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}$
Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20202021_h3k1f2f ) Határozzuk meg az összes olyan $ n $ pozitív egész számot, melyre egy $n \times n $-es táblázat mezői kitölthetők az $ 1,\ 2,\ -3 $ számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege $ 0 $ legyen. Témakör: *Számelmélet (oszthatóság) (Azonosító: AD_20132014_k3kdf2f ) Mely $n\ge3$ egész számok esetén létezik n darab páronként különböző pozitív egész szám úgy, hogy mindegyik osztója a többi összegének? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20132014_h1k2f2f ) Határozzuk meg azokat a négyjegyű számokat, ahol az első két számjegyből álló szám és az utolsó két számjegyből álló szám összegének négyzete egyenlő az eredeti számmal! Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h2kdf3f ) Melyek azok$ a, b > 1 $ pozitív egész számok, amelyekre bármely $ k $ pozitív egész szám esetén van olyan $ n $ pozitív egész, hogy az $ n^{2} $ négyzetszám $ b $-alapú számrendszerben felírt jegyeinek az összege éppen $ k $? Témakör: *Algebra (egyenlőtlenség) (Azonosító: AD_20142015_h1k1f2f ) Melyik az a legkisebb n természetes szám, amire $\left(1-\dfrac{1}{4} \right) \cdot \left(1-\dfrac{1}{9} \right) \cdot \ldots \cdot \left(1-\dfrac{1}{n^2} \right) < 0,51$ Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_h2kdf2f ) Adott$ n\ge 3 $ darab pont a síkon. Nincs közöttük három, amely egy egyenesre illeszkedne. Válasszunk ki az összes lehetséges módon három pontot az adott pontok közül. Az így kapott háromszögek közül a legnagyobb területű területét jelöljük $ T $-vel, a legkisebb területű területét $ t $-vel. Tudjuk, hogy $ \dfrac{T}{t}\le 2 $! Mely n értékekre valósulhat ez meg? Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20202021_h2k1f1f ) Bizonyítsuk be, hogy $ 5a^2 + 4ab - b^2 $ ($ a $ és $ b $ egész számok) akkor és csak akkor osztható 3-mal, Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20132014_h2k2f2f ) Mutassuk meg, hogy egy tetszőleges háromszögben $a^2+4m_a^2\le (b+c)^2$, ahol a, b és c a háromszög oldalainak hosszát, ma az a oldalhoz tartozó magasságot jelenti! Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20222023_h1k1f3f ) Kilenc kártyára felírjuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat úgy, hogy minden lapra pontosan egy számjegy kerüljön. Az összes kártya felhasználásával számokat képezünk. Például egy ilyen lehetőség a 8, 21, 394, 65 és 7 számok kialakítása. A képzett számokat összeadva mikor kapjuk a legkisebb összeget, a) ha a kialakított összes szám prím, b) illetve akkor, ha közülük mindegyik összetett. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_k3kdf3f ) Bizonyítsuk be, hogy létezik $ N > 1 $ egész szám a következő tulajdonsággal: minden $ n > N $ egész szám felbontható olyan pozitív egészek összegére, amelyeknek legkisebb közös többszöröse nagyobb, mint $ n^{2018} $.
|
|||||
|