Az $ (a_n ) $ sorozat tagjait a $ \left\{ 0; 1; 2 \right\} $ halmazból választjuk ki az alábbi szabály szerint:ha $ a_k = j $, akkor $ a_{k+ j} = 0 (k \in \mathbb{N}^+ ) $. Jelölje $ S $ a sorozat első $ 2023 $ tagjának összegét! Határozzuk meg $ S $ lehetséges legnagyobb értékét. 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan konvex nyolcszög, amelynek minden belso szöge ugyanakkora, és az oldalai valamilyen sorrendben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, illetve 8 egység hosszúak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik tört a nagyobb,

$ \dfrac{2020^{2022}}{2022^{2020}} \text{ vagy } \dfrac{2019^{2021}}{2021^{2019}}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány hegyesszögű, derékszögű, illetve tompaszögű háromszöget határoznak meg egy szabályos
húszszög csúcsai?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány rendezett (x, y, z) valós számhármas megoldása van az alábbi egyenletrendszernek:

$\begin{cases}x+y+z=11\\ x^2+2y^2+3 z^2=66\end{cases}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Számítsuk ki az alábbi összeget:

$\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots-\dfrac{1}{2018}\right) + \left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}-\ldots-\dfrac{2}{2018}\right) + \left(-\dfrac{3}{4}+\ldots-\dfrac{3}{2018}\right) + \ldots + \left(-\dfrac{2017}{2018} \right)$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a $ és $ b $ pozitív egész számokra teljesül, hogy:

$ \dfrac{1}{\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}}  - \dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}} =b $

Mi lehet az $ a $ szám utolsó számjegye?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCDE $ konvex ötszögben $ AC $ párhuzamos $ DE $-vel és $ BE $ párhuzamos $ DC $-vel. Bizonyítsuk be, hogy az $ AED $ és a $ BCD $ háromszög területe egyenlő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg az összes olyan $ b $ (1-nél nagyobb) természetes számot, amelyre teljesül, hogy minden nem egész, véges tizedes tört alakban felírható pozitív valós szám$ b $ alapú számrendszerbeli "$ b $-edes tört" alakja végtelen szakaszos.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n \ge 4 $ egész szám. Bizonyítsuk be, hogy minden $ A \subseteq \left\{ 1, \ldots , n \right\} $ halmazhoz található olyan $ B \subseteq \left\{ n + 1, . . . , 2n \right\} $ halmaz, amelyre az $ A \cup B $ halmaz elemeinek szorzata négyzetszám. (Az üres halmaz elemeinek szorzata definíció szerint $ 1 $.)
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P , az AD és BC egyeneseké pedig Q. Mekkora szöget zár be a P Q egyenes az AB átmérővel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott egy 8 × 8-as táblázat. Nevezzük főátlónak az a₁ – h₈ átlót. A főátló alatti mezőket 0-kal töltjük ki, míg a többi mezőbe pozitív egészeket írunk. A kitöltés után kiszámoljuk a sor-, illetve oszlopösszegeket. Lehetséges-e, hogy az 1, 2, 3, . . . , 16 számokat kapjuk eredményül (valamilyen sorrendben)?

b) Ha egy 7 × 7-es táblánk van, akkor lehetséges-e, hogy az 1, 2, 3, . . . , 14 számokat kapjuk eredményül (valamilyen sorrendben)?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy négy egység sugarú negyedkörbe félköröket írtunk az ábrán látható módon. A két kisebb félkör sugara egyenlő. Ezután megrajzoltuk azt a kört, ami mindhárom félkört érinti. Mekkora ennek a körnek a sugara?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Anikó és Bea felírták a táblára a pozitív egészeket 1-től 2022-ig. Ezután a következő szabályokat követik:

– kiválasztanak a számok közül tetszőleges számút;
– összeadják a kiválasztott számokat;
– kiszámolják az összeg 7-tel való osztási maradékát, ezt a számot felírják a táblára;
– a kiválasztott számokat letörlik a tábláról.
Ezeket a lépéseket egészen addig folytatják, amíg már csak két szám marad a táblán. Ha az egyik a 2022, mi lehet a másik szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tegyük fel, hogy ABCD húrnégyszög, és a k olyan kör, mely a húrnégyszög minden oldalát két pontban metszi. Tekintsük, az ábrán látható módon, az ABCD belsejében létrejövő l_A, l_B, l_C, l_D íveket. Bizonyítsuk be, hogy az l_A és l_C ívek hosszának összege egyenlő az l_B és l_D ívek hosszának összegével.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 3 \times 3 $-as táblázat mindegyik mezőjébe $ 0 $-t, $ 1 $-et vagy $ 2 $-t írunk, majd összeadjuk az egy-egy sorban, illetve egy-egy oszlopban szereplő számokat. Lehetséges-e, hogy az így kapott hat szám mindegyike különböző?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy vacsorán a házigazdán kívül $ 2n $ személy vesz részt ($ n $ pozitív egész szám). A házigazda a vacsora végén megkérdezi minden vendégtől, hogy hány emberrel koccintott a jelenlévők közül. Mindenki különböző választ ad. Hány vendéggel koccintott a házigazda?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy sorozat első tagja $ a_1 = 2 $. Tudjuk, hogy a sorozat $ (n + 1) $-edik tagja:

$ a_{n+1}=\dfrac{a_n-1}{a_n+1} $

Határozzuk meg a sorozat $ 2023 $-adik tagját!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy diáknak öt egymást követő tanítási napon matematika, angol, biológia és fizika tantárgyakból kell dolgozatot írnia ebben a sorrendben úgy, hogy egy napon legfeljebb két dolgozatot írhat. Hányféleképpen oszthatják el a diák dolgozatait az öt napon? (A dolgozatok egy-egy napon belüli konkrét időpontjai nem számítanak.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD négyzet A csúcsán átmen˝o egyenes a DC oldalt E, a BC oldal meghosszabbítását F pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

$\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg az összes olyan $ n $ pozitív egész számot, melyre egy $n \times n $-es táblázat mezői kitölthetők az $ 1,\ 2,\ -3 $ számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege $ 0 $ legyen.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely $n\ge3$ egész számok esetén létezik n darab páronként különböző pozitív egész szám úgy, hogy mindegyik osztója a többi összegének?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azokat a négyjegyű számokat, ahol az első két számjegyből álló szám és az utolsó két számjegyből álló szám összegének négyzete egyenlő az eredeti számmal!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyek azok$ a, b > 1 $ pozitív egész számok, amelyekre bármely $ k $ pozitív egész szám esetén van olyan $ n $ pozitív egész, hogy az $ n^{2} $ négyzetszám $ b $-alapú számrendszerben felírt jegyeinek az összege éppen $ k $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik az a legkisebb n természetes szám, amire

$\left(1-\dfrac{1}{4} \right) \cdot \left(1-\dfrac{1}{9} \right) \cdot \ldots \cdot \left(1-\dfrac{1}{n^2} \right) < 0,51$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott$ n\ge 3 $ darab pont a síkon. Nincs közöttük három, amely egy egyenesre illeszkedne.  Válasszunk ki az összes lehetséges módon három pontot az adott pontok közül. Az így kapott háromszögek közül a legnagyobb területű területét jelöljük $ T $-vel, a legkisebb területű területét $ t $-vel. Tudjuk, hogy $ \dfrac{T}{t}\le 2 $! Mely n értékekre valósulhat ez meg?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy $ 5a^2 + 4ab - b^2 $ ($ a $ és $ b $ egész számok) akkor és csak akkor osztható 3-mal,
ha $ a + b $ is osztható 3-mal.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy egy tetszőleges háromszögben $a^2+4m_a^2\le (b+c)^2$, ahol a, b és c a háromszög oldalainak hosszát, m_a az a oldalhoz tartozó magasságot jelenti!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Kilenc kártyára felírjuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat úgy, hogy minden lapra pontosan egy számjegy kerüljön. Az összes kártya felhasználásával számokat képezünk. Például egy ilyen lehetőség a 8, 21, 394, 65 és 7 számok kialakítása. A képzett számokat összeadva mikor kapjuk a legkisebb összeget,

a) ha a kialakított összes szám prím,

b) illetve akkor, ha közülük mindegyik összetett.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy létezik $ N > 1 $ egész szám a következő tulajdonsággal: minden $ n > N $ egész szám felbontható olyan pozitív egészek összegére, amelyeknek legkisebb közös többszöröse nagyobb, mint $ n^{2018} $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba