5. Geometriai valószínűség paradoxonai
5.1. feladat (KöMaL F595.):
Egy r sugarú, A, B végpontú félköríven két pont mozog. Mi a valószínűsége annak, hogy egy tetszőleges pillanatban a két pont egymástól való távolsága nem nagyobb a félkör sugránál?Első megoldás:
Jelöljük a mozgó pontokat C-vel és D-vel, s legyen az ívek hossza = x, = y. (Persze = rπ.) Ekkor x és y a [0, rπ] intervallumban tetszőleges értékek lehetnek. Az 1.13. és 1.14. feladatokban látott módszer alapján feleltessük meg a C és D pontok helyzetét a sík (0, 0), (0, r), (r, 0), (r, r) négyzete (x, y) pontjának; az (x, y) pont véletlenszerű kiválasztása ekvivalens a C, D pontok kiválasztásával.A kedvező pontokra teljesülnie kell az egyenlőtlenségnek.
A keresett valószínűség a két terület hányadosa; átalakítások után a kapott érték .
Második megoldás:
A CD húr F felezőpontja egyértelműen meghatározza a húrt s így a CD távolságot is. A húrfelezőpontok lehetséges helyzetét a két szélső helyzet segítségével határozhatjuk meg. Legyen az AB húr felezőpontja O. Az A-ból, ill. B-ből kiinduló húrok felezőpontjai az AO, ill. OB átmérőjű félkörívek (ui. az A, ill. B pontokból arányú kicsinyítést alkalmazhatunk). Kövekezésképpen az F pont ezen félkörök és az AB félkör közötti részre eshet, ezen alakzat területe . Rövid számolással adódik, hogy a kedvező pontok helyzetét egy további sugarú kör korlátozza, s innen a keresett valószínűség ≈ 0,391.Megjegyzés:
A két érték nem egyezik meg. Melyik megoldás a jó?5.2. feladat (Bertrand-paradoxon):
Mekkora annak a valószínűsége, hogy ha egy körbe véletlenszerűen berajzolunk egy húrt, akkor a húr hosszabb lesz, mint a körbe írható egyenlő oldalú háromszög oldala?Első megoldás:
Az A pontból kiinduló húrok közül csak azok lesznek jók, amelyek belemetszenek a háromszögbe (ábra).
Ennek valószínűsége, mivel a háromszög A-nál levő szöge 60°-os, .
Második megoldás:
Adott (az ábra szerinti függőleges) irányú átmérőre merőleges húrok közül az AB szakaszon áthaladók lesznek az esemény szempontjából kedvezők.
A keresett valószínűség .
Harmadik megoldás:
A húrok felezőpontjait tekintve a kör belső pontjai szolgáltatják az összes lehetséges esetet, míg egy koncentrikus, feleakkora sugarú kör pontjai a kedvező eseteket. A keresett valószínűség értéke .Megjegyzések:
1. Három különböző eredményt kaptunk, melyik tekinthető az „igazinak”?
2. Hogy melyik a helyes
válasz, az attól függ, hogy hogyan rajzoljuk meg a véletlen húrt. A három, fent
tárgyalt elméleti módszer közül kézenfekvőnek látszik a gyakorlat segítségével
kiválasztani a valódi eljárást.
Vagyis konstruáljunk egy
modellt, hajtsuk végre elég sokszor a kísérletet, s a tapasztalat megmutatja,
melyik megoldás volt a helyes gondolat.
3. De mindhárom eljárás
megvalósítható a gyakorlatban.
Az első esetben feltettük, hogy
a húr másik végpontjaként szóba jövő pontok egyenletesen oszlanak el a kör
kerületén. Ez megvalósítható egy, a körrel koncentrikus pörgettyű segítségével.
A második esetben [6]-ban a szerző
azt javasolja, hogy pl. a járdára rajzolt körhöz elég nagy távolságból
gurítsunk egy seprűnyelet.
Végül a harmadik esetben pl.
vizsgálhatjuk azt, hogy egy melasszal bekent körlemez mely pontjára száll le
egy légy.
Vagyis ebben a feladatban mindegyik válasz jó, de mindegyik más-más eljárás esetén.
4. A paradoxonok jelentős része a fenti okok miatt lép fel; vagyis azért, mert nem tisztázzuk a feladat elején, hogy mit is értünk véletlenszerű kiválasztáson.
5.3. feladat:
Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 0 és 10 között véletlenszerűen kiválasztott valós szám nagyobb, mint 5?Első megoldás:
A számegyenes [0, 10] szakaszának a felét tekinthetjük, az eredmény .Második megoldás:
A [0, 10] intervallum számai és azok négyzete között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesíthetünk. A probléma ugyanaz, mintha azt vizsgálnánk, hogy egy [0, 10] intervallumbeli szám négyzete mikor lesz a [0, 100] intervallum [0, 25] részén; s ennek a valószínűsége már csak .Megjegyzés:
Hogyan oldható fel az ellentmondás?5.4. feladat: Milyen p valószínűséggel lesz egy véletlenszerűen létrehozott háromszög hegyesszögű?
Megjegyzések:
Erre a feladatra 11 megoldási lehetőséget mutatunk.
Első megoldás:
Rögzítsük a középső oldalt! Ekkor p = 0,18.Második megoldás:
Rögzítsük a maximális oldalt, ekkor p = 0,36.Harmadik megoldás:
(Egységnyi kerületű) körvonalon az A pontot fixáljuk, a másik két pontot véletlenszerűen választjuk: p = .Negyedik megoldás:
Legyen a háromszög beírt körének kerülete 1, az A érintési pont fix, s ehhez választjuk a B, C érintési pontokat: p = .Ötödik megoldás:
Válasszuk ki a maximális szöget! Az összes lehetőség [60°, 180°] közé esik; a kedvező esetek száma a [60°, 90°] intervallum: p = .Hatodik megoldás:
Adott kerületű háromszögeket vizsgáljunk.Megjegyzés:
Lásd 1.13. feladatot!Hetedik megoldás:
Ugyanezt megtehetjük a trilineáris koordináta-rendszerben is.Nyolcadik megoldás:
A koordinátasík egységnyi oldalú négyzetében az x és y koordináták véletlenszerű választásával két pontot jelölünk ki (a harmadik csúcs az origó): p = .Kilencedik megoldás:
Ugyanúgy járunk el, mint az előző feladatban, csak most mindhárom pontot az egységnégyzetből választjuk: p = .Tizedik megoldás:
Az x + y + z = π a térbeli koordináta-rendszerben egy sík egyenlete. Az első térnyolcadban metszete egy szabályos háromszög, melynek középháromszöge a jó pontok halmaza: p = .Tizenegyedik megoldás:
Legyen végül az α hegyesszögű szögtartomány csúcsa A, az egyik szögszáron fix pont B. A B ponton átmenő egyenes forgatásával p = , vagyis p bármilyen, -nél kisebb pozitív szám lehet (α-tól függ).Megjegyzés:
Középiskolás diákok a kitűzött feladatra néha egy-egy szimulációs programmal válaszolnak, általában a 9. megoldás technikáját alkalmazzák. Egy futási eredmény: 30000 szimulációból 8244 lett a hegyesszögű, 21756 a nem hegyesszögű háromszög. A relatív gyakoriság 0,275.