4.1. feladat:
Három herceg, A, B és C egyaránt szerelmes Bergengócia királylányába. Elhatározzák, hogy egyetlen pisztolypárbajban eldöntik, melyikük legyen a kérő. Egyszerre körbeállnak és bármelyikük lőhet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha lő, A 1, B 0,8 és C 0,5 valószínűséggel talál, ezért abban állapodnak meg, hogy először lő C, utána (ha életben van) B, végül A. Ha nincs vége a párbajnak, akkor még egy kört lőnek azonos sorrendben.Megoldás:
1. eset: Nézzük azt az esetet, amikor megtörtént a csere, tehát C első golyója vaktöltény. Az első lövésből C nem talál, B következik. Ő nyilván A-ra lő (mert ha C-re lőne, és őt véletlenül eltalálná, akkor A következik; A lelövi B-t és nyert). Ha B eltalálja A-t, akkor a játék "kétszemélyes" lesz B és C között; míg ha B nem találja el A-t, akkor A következik lövésre. Ő a két lehetséges ellenfele közül nyilván a veszélyesebb B-re lő, akit el is talál, így ismét "kétszemélyes játékot" kaptunk A és C között. A teljes játék folyamatábrája:
Mekkora valószínűséggel győznek az egyes párbajozók?
P(A nyer), (és B élve marad további eséllyel, ez a B-C döntetlen párbaj eredménye), (és C élve marad további eséllyel, a döntetlen miatt).
2. eset: Vizsgáljuk most
meg azt a helyzetet, amikor C első lövése nem vaktöltény!
Első lövésével C nyilván A-ra
lő; ha nem találja el, előáll az első eset, míg ha talál, akkor B és C között
egy kétszemélyes párbajt kapunk (amely meglehetősen előnyös B-nek, hiszen ő lő
először, nagyobb valószínűséggel talál, és két lövési lehetősége van, míg C-nek
csak egy). A folyamatábra:
P(A nyer), , , valamint B és C egyaránt élve marad a döntetlen lehetősége miatt eséllyel.
Az egyes játékosok |
A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel |
A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel |
|
|
|
A |
10 % |
5 % |
B |
32 % |
60 % |
C |
50 % |
30 % |
döntetlen B és C között |
8 % |
5 % |
Nos, kedves Olvasó, kibe szerelmes a királylány? Bármily meglepő, lehet, hogy C-be, hiszen győzelmi esélye 20%-kal megnőtt. De az is elképzelhető, hogy A-ba, hiszen neki a beavatkozás után kétszeresre nőtt a győzelmi esélye.
Megjegyzések:
1. Az általános eset folyamatábrája a, b, c valószínűségekkel, ha C első golyója vaktöltény:
Ennek alapján ha C első golyója
vaktöltény, a nyerési esélyek az alábbiak:
A nyer: a1 = (1 – b)(1 – c);
B nyer: b1 = b2(1 – c);
C nyer: c1 = c;
D (döntetlen): d1 = b(1 – b)(1 – c).
Hogyan néz ki a folyamatábra akkor, ha az első golyó nem vaktöltény?
A folyamatábra:
Ha C első lövésével A-t veszi
célba, és golyója nem vaktöltény, akkor az alábbi gyözelmi valószínűségeket
kapjuk:
A nyer: (1 – c)a1;
B nyer: (1 – c)b1 + bc + bc(1 – b)(1 – c);
C nyer: (1 – c)c1 + c2(1 – b);
D: (1 – c)d1 + c(1 – c)(1 – b)2.
Nézzük meg, hogyan változnak a valószínűségek b és c csökkentésével:
Az egyes játékosok |
A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel |
A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel |
|
|
|
A |
35 % |
24,5 % |
B |
17,5 % |
32,5 % |
C |
30 % |
25,5 % |
döntetlen B és C között |
17,5 % |
17,5 % |
Az egyes játékosok |
A győzelmi valószínűségek vaktölténnyel |
A győzelmi valószínűségek éles tölténnyel |
|
|
|
A |
14 % |
9,8 % |
B |
44,8 % |
58,7 % |
C |
30 % |
22,8 % |
döntetlen B és C között |
11,2 % |
8,7 % |
2. A megoldás folyamán feltételeztük, hogy a királylány használni tudja a matematikai folyamatábrákat. Ha C is elég jó matematikus, akkor az egész csere-tranzakció felesleges, mert C első lövésével úgyis a levegőbe lő.