2. Van hiba az alábbi okoskodásokban?
A tanár szemszögéből nézve a tanítás folyamatában érdekes témakör a kombinatorika. Eszközigénytelen, a témával foglalkozó diáknak viszonylag kevés képletet kell ismernie. Ugyanakkor a matematika semmilyen más területén nem olyan könnyű hibázni, mint itt: a legegyszerűbb, ártatlan elemi feladat megoldása is meglepetést okozhat.
A kombinatorikában a hibás feladatmegoldások módszertani szerepe igen nagy. Soha ne engedjük, hogy a diákok megelégedjenek saját (szép) megoldásukkal; legalább ugyanolyan fontos, hogy társaik esetleges hibás gondolatmenetét átlássák, megértsék, és megtalálják benne a hibát.
Érdemes felhívni diákjaink figyelmét arra, hogy a megismerési folyamat minden tudományágban a feltevések folyamatos módosításán és a tévedések állandó javítgatásán, csiszolgatásán alapul. Az elmúlt korok szellemi nagyjai számtalan tévút és zsákutca után érték el eredményeiket, amiket most mi néhány letisztult tétel vagy alkalmazható elv alakjában készen kapunk.
A megismerési folyamathoz hasonlíthatjuk kicsiben a feladatmegoldás folyamatát is. Itt is szükség van alkalmanként több nekifutásra, előfordulhatnak zsákutcák stb.
A valószínűségszámítás ma már lényegesen túlnyúlt a kombinatorikán. Elmélete absztraktabb lett, a diákok feladatmegoldásai között elég szép számmal találunk hibásakat, s a tanítás folyamatában ezek részletes megvizsgálása rendkívül fontos. Hasonló cipőben jártak őseink is. Nem is hinnénk, hogy a matematika történetével foglalkozó kutatók a korábbi századok matematikusainak munkáiban hány olyan gondolatra bukkannak, amely ma már egy pillanatra sem tudja lekötni a művelt középiskolás diák figyelmét. Bár ebben a fejezetben lesz történeti érdekességekről szó, csak egy példa: Jean le Rond d’Alembert XVIII. századi nagy francia matematikus nem látta, hogy az eredmény ugyanaz, ha egy érmét dobunk fel háromszor, vagy ha három érmét egyszerre.
A fenti módszertani indokok után lássuk a feladatokat! A cikk többi részétől eltérően itt rögtön megadunk egy megoldási gondolatmenetet (alkalmanként többet is), s a feladat egyrészt annak eldöntése, hogy jó-e az okoskodás (ill. hogy melyik a jó), másrészt maga a hiba feltárása. (Tehát nem elég egy másik, jó megoldást adni!)
Módszertani megfontolásokból, galád módon, nem minden probléma esetén oldjuk fel az ellentmondásokat; reméljük, hogy a kedves Olvasónak is kellemes fejtörést okozunk.
Természetesen nagyon egyszerű feladatokkal kezdjük, ezek egy része már a legalapvetőbb általános műveltséghez tartozik.
2.1. feladat:
Egy dobozban 5 egyforma golyó van, néhány piros, néhány kék. Találomra kihúzunk egy golyót. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó piros?Első gondolatmenet:
Nem ismerjük a golyók színének eloszlását. Vagy piros, vagy kék golyót húzunk ki; a piros golyó kihúzásának valószínűsége ezek szerint .Második gondolatmenet:
A golyók színeloszlásának ismerete nélkül csak a legvalószínűbb, tehát kb. egyenletes eloszlást tételezhetjük fel. Mivel 2,5 golyó nincs, két esetet vizsgálunk.Ha 3 piros golyó van (ezt az esetet valószínűségűnek tekintjük), akkor piros golyót valószínűséggel húzunk; ha pedig 3 kék golyó van, akkor pirosat valószínűséggel húzunk. A két eset valamelyike valószínűséggel következik be.
Megjegyzések:
1. Ez a feladat a puristák és a laxisták (modernisták) „küzdelmének” alapfeladata lehetne. (A puristák a valószínűségszámítás érvényességét arra próbálják meg korlátozni, amire azt kitalálták; a laxisták pedig próbálják minél több dologra kiterjeszteni, pl.: az időjárásra, Földön kívüli értelem létezésére stb.) A harc - a puristák tisztán matematikai megfontolásai ellenére - váltakozó sikerrel (alkalmanként kompromisszumokkal) folyik. Erről további gondolatok pl. a [7] szakirodalomban olvashatók.
2. Azt javasoljuk, hogy az ilyen típusú problémákat azért a puristák módszerével kezeljük le; mely szerint ebben a feladatban a valószínűségszámítás módszerei egyáltalán nem alkalmazhatók.
2.2. feladat:
Két dobókockával dobunk, a dobott számok összegét tekintjük. Melyik esemény valószínűbb?Gondolatmenet:
Nagyobb számokat nehezebb dobni a tapasztalat alapján, a B esemény a valószínűbb.Megjegyzések:
1. Matematikai szemléletünk a szimmetriaokok miatt nyilván az egyforma valószínűséget sugallja, s a számolás is ezt igazolja.
2. Az olyan típusú társasjátékokban, ahol előnyös nagyot dobni a kockával, gyakran érezzük úgy, hogy többször dobunk kis számot, s ritkábban nagyot. Mi lehet ennek az oka?
A jelenség valószínűleg pszichológiai eredetű. A sikeres dobást boldogan tudomásul vesszük, a kudarcra (egy hosszú pechsorozatra) viszont sokáig emlékezünk.
3. Egyes esetekben viszont Murphy törvényének (a másik sor mindig rövidebb, a másik irányból mindig hamarabb jön a busz stb.) gyakorlati okai lehetnek, lásd pl. a 3.1. vagy 3.2. feladatokat és a hozzá fűzött megjegyzéseket.
2.3. feladat:
Egy pénzdarabot feldobtunk egymás után 9-szer, mindegyik dobás eredménye írás volt. Melyik a valószínűbb esemény?Első gondolatmenet:
Ilyen sok írás után sokkal valószínűbb egy fej dobás. (Így okoskodott pl. a bevezetőben említett XVIII. századi francia matematikus, d’Alembert is.)Második gondolatmenet:
Annak valószínűsége, hogy 10 írásból álló sorozat jön ki, , rendkívül kicsi. Sokkal valószínűbb tehát egy fej dobás.Megjegyzések:
1. Ma már tudjuk, hogy a 10. dobás nem függ az első 9 dobástól, a fenti okoskodások hibásak.
2. A középiskolás gyerekek megmosolyogják a fenti gondolatmeneteket. Hívjuk fel a figyelmüket a bevezetőben említett gondolatokra, s kérjük meg, hogy képzeljék őseink helyébe magukat. Kérdezzük meg, hogy ha pl. most ruletteznének, s egymás után 9-szer jött már ki a piros, vajon melyik színre tennének?
2.4. feladat:
Két teljesen egyforma, külsőre megkülönböztethetetlen kockát feldobunk, a dobott számok összegét tekintjük. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7?Első gondolatmenet:
Mivel a kockák teljesen egyformák, 11-féle lehetséges összeg van: 2, 3, ... , 12. Ebből egy eset kedvező, a keresett valószínűség .Második gondolatmenet
(Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) német matematikus és filozófus): Az egyes összegek többféleképpen is előállhatnak (táblázat).
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1+1 |
1+2 |
1+3 2+2 |
1+4 2+3 |
1+5 2+4 3+3 |
1+6 2+5 3+4 |
2+6 3+5 4+4 |
3+6 4+5
|
4+6 5+5
|
5+6 |
6+6 |
db: |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
A 21 lehetséges összegből 3 állítja elő a 7-et, így a keresett valószínűség .
Harmadik gondolatmenet:
Hiába egyforma külsőre a két kocka, azért csak különböznek egymástól. Így az előző táblázat módosul:
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1+1 |
1+2 2+1 |
1+3 2+2 3+1 |
1+4 2+3 3+2 4+1 |
1+5 2+4 3+3 4+2 5+1 |
1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 |
2+6 3+5 4+4 5+3 6+2 |
3+6 4+5 5+4 6+3
|
4+6 5+5 6+4 |
5+6 6+5 |
6+6 |
db: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
A keresett valószínűség .
Megjegyzések:
1. Komoly probléma, hogy a valószínűségszámításban bizony mást jelent a különbözőség és mást a megkülönböztethetőség fogalma. Külsőleg hiába teljesen egyforma két kocka, azért különböznek egymástól (pl. befesthetők). Az első gondolatmenet nem jó.
2. Leibniz még azt hitte, hogy két kockával pontosan olyan könnyű 12-t dobni, mint 11-et. Az utolsó két oszlop mutatja tévedését.
3. Tanítás közben (kb. 7. osztály környékén) a gyakorlat alapján kell meggyőznünk a diákokat; pl. dobassunk minden gyerekkel otthon 100 dobást, összegezzünk, s határozzuk meg a relatív gyakoriságot: -hoz vagy -hez van közelebb?
2.5. feladat:
Egy fiút akkor engednek el játszani, ha három egymás utáni sakkparti közül legalább két egymás utánit megnyer. Partnerei: Apa és Papa, mégpedig vagy Apa-Papa-Apa, vagy Papa-Apa-Papa sorrendben. Apa jobban játszik, mint Papa. Melyik sorrend kedvezőbb a fiú számára?Gondolatmenet:
Nyilván a gyengébben játszó Papával érdemes több mérkőzést játszani, kedvezőbb a Papa-Apa-Papa sorrend.Megjegyzések:
1. Hát nem. Legyen a fiú
nyerésének valószínűsége Apa ellen a, Papa ellen p (p > a), s számoljuk ki
mindkét esetben a fiú számára sikeres mérkőzéssorozat valószínűségét.
Az Apa-Papa-Apa mérkőzések
esetén vagy az első két mérkőzést kell megnyernie (ennek valószínűsége ap),
vagy az utolsó kettőt (pa). Kétszer számoltuk azt az esetet, amikor mind a
három mérkőzést megnyeri, így a keresett valószínűség 2ap – a2p.
Hasonlóan számolva a Papa-Apa-Papa
sorozatot, a valószínűség 2ap – p2a.
Összehasonlítva a két értéket,
kedvezőbb az Apa-Papa-Apa sorozat.
2. Ennek az egyszerű paradoxonnak (érdekességnek) az az oka, hogy a fiúnak a középső mérkőzést mindenféleképpen meg kell nyernie, s végső soron kedvezőbb számára, ha ezt a gyengébb Papával játssza.
2.6. feladat:
Egy érmét kétszer feldobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább egy esetben fej lesz felül?Első gondolatmenet
(D'Alembert, 1754): Három eset lehetséges. Vagy az első alkalommal dobunk fejet, vagy a második alkalommal, vagy egyik esetben sem. E három eset közül kettő kedvező, a keresett valószínűség .Második gondolatmenet:
Három eset lehetséges. Vagy két írást dobunk, vagy két fejet, vagy egy fejet és egy írást. A keresett valószínűség .Megjegyzések:
1. Lényegében mindkét gondolatmenetnek ugyanaz a hibája, hogy ti. az alapesetek nem egyformán valószínűek. Az első esetben nem kizáró eseményekkel dolgozik a megoldó, a második esetben pedig ismét fellép a 2.4. feladat megkülönböztethetőségi problémája.
2. A helyes megoldáshoz
többféleképpen eljuthatunk.
Módosíthatjuk az első
gondolatmenetet (fejet dobunk az első alkalommal; vagy másodszor, ha először
írást dobtunk); vagy kiszitálhatjuk a duplán számolt fej - fej dobásokat.
A második gondolatmenet
módosítása csak annyiból áll, hogy a fej - írás és írás - fej sorozatokat
megkülönböztetjük.
Végül eljárhatunk egészen
másképpen is, pl. a komplementer eseményt határozzuk meg.
2.7. feladat (osztozkodás-paradoxon):
Két játékos egy szabályos érmével játszik. András akkor győz, ha - nem szükségképpen egymás után - öt fej jön ki, Béla pedig akkor, ha öt írás. A játszma négy fej, két írás állásnál véglegesen félbeszakad. Hogyan osztozzanak a játékosok az 1600 Ft-os téten?Első gondolatmenet:
Az összeget 4 : 2 arányban kell felosztaniuk, hiszen ennyi a dobott fejek és írások aránya.Második gondolatmenet:
Az összeget 3 : 1 arányban kell felosztaniuk, hiszen ennyi fej, illetve írás dobás hiányzik a játékosok győzelméhez.Harmadik gondolatmenet:
Még nincs vége a játéknak, vagy András nyer, vagy Béla. Az arány legyen 1 : 1, így igazságos.Negyedik gondolatmenet
(Niccolo Tartaglia (1499 - 1557) olasz matematikus): Andás 2 játékkal nyert többet, mint Béla, ezért meg kell kapnia az összes tét részét, a maradékot pedig fele-fele arányban kell elosztani. Az arány 7 : 3.Ötödik gondolatmenet:
A 4 fej, 2 írás valószínűsége = . Ennyivel volt szerencsésebb András, ezért a javasolt osztozkodási arány 49 : 15.Hatodik gondolatmenet:
Csak az egyenlőnek számító "2 fej - 2 írás" álláshoz képest történt változást vizsgáljuk. András előnyösebb helyzetben van 2 fej dobással. A 2 többletdobás kimenetele 4-féle lehet, a 2 fej dobás valószínűségű. Ennek megfelelően a helyes osztozkodási arány 3 : 1.Megjegyzések:
1. A fenti megoldások
mindegyikét diákjaim javasolták, de egyik sem jó.
A feladat megoldásakor az a
helyes kiindulási alap, ha azt vizsgáljuk meg, hogy a játékot tovább folytatva,
a játék befejezéséig mekkora valószínűséggel nyerne
András, illetve Béla. A hasonló típusú bonyolultabb feladatok a Markov-láncok
segítségével elegánsan tárgyalhatók (link),
most erre nincs szükségünk.
Ugyanis Béla csak akkor
nyerhetne, ha a következő három dobás mindegyike írás lenne, ennek
valószínűsége pedig . Minden
más esetben András nyer, a helyes osztozkodási arány 7 : 1.
2. Egy kis matematikatörténet: Már 1380-as és 1494-es kéziratokban is találkozunk a paradoxonnal, de a korabeli megoldók még azt sem vették észre, hogy a feladat egyáltalán valószínűségszámítási jellegű. 1654-ben Pascal és Fermat egymástól függetlenül megoldotta a problémát, s ez akkoriban olyan komoly felfedezésnek számított, hogy sokan ma is ettől az időponttól számítják a valószínűségszámítás megszületését. Végül 1657-ben Huygens három játékos esetére is általánosította a problémát.
További feladatok
Az alábbiakban kitűzött feladatok
megoldásai között szép számmal lesznek hibásak is. Döntsük el, hogy mi a hiba
az egyes gondolatmenetekben! (Vigyázat: abból, hogy két eredmény ugyanaz, még
nem következik, hogy mindkét gondolatmenet jó is!)
Az eredmények a fejezet végén, a
függelékben olvashatók.
2.8. feladat:
Egyszerre dobunk fel három érmét. Mi annak a valószínűsége, hogy mindegyiknek ugyanaz az oldala kerül felülre?Gondolatmenet:
Az érmék között biztosan lesz két egyforma. Annak valószínűsége, hogy a harmadik ugyanilyen lesz, .2.9. feladat:
Andrásnak két golyója van, Bélának egy. A golyók elgurítása után megnézik, melyiküké közelített meg jobban egy kitűzött pálcát (a pálca és a golyók távolságai mind különbözők). Ha mind a két játékos ugyanolyan ügyes, akkor mi annak a valószínűsége, hogy András győz?Első gondolatmenet:
Béla második dobása nem függ András két dobásától. Ha a két játékos egyformán ügyes, véletlenszerű lesz a golyók és a pálca távolsága (ugyanolyan eséllyel dob közelebbit, mint távolabbit Béla). A keresett valószínűség P = .Második gondolatmenet:
Három eset van, a golyók sorrendje lehet AAB, ABA, BAA. Ebből 2 eset kedvező András számára, P = .Harmadik gondolatmenet:
Három eset lehetséges. A célhoz legközelebb lehet András első, András második, vagy Béla egyetlen golyója, ezért P = .Negyedik gondolatmenet:
A harmadik gondolatmenet „gyanús”. Ugyanis annak valószínűsége, hogy András valamelyik golyója megelőzi Béla valamelyik golyóját, ; tehát annak valószínűsége, hogy két golyója is közelebb lesz a pálcához, , s ez mutatja, hogy a harmadik gondolatmenetben nem egyformán valószínűek az egyes esetek. Alkalmazzuk a komplementer megoldás módszerét! Annak valószínűsége, hogy Béla golyója megelőzi András mindkét golyóját, , ezért P = .Ötödik gondolatmenet:
Különböztessük meg András két golyóját! Ekkor négy eset lehetséges: vagy András mindkét golyója közelebb van, mint Béla golyója; vagy András mindkét golyója távolabb van; vagy András első golyója közelebb van, a második távolabb; vagy fordítva. P = .2.10. feladat:
András és Béla a következő kockajátékot játsszák. András dobókockáján a 2, 2, 2, 5, 5, 5; Béla kockáján a 3, 3, 3, 3, 3, 6 számok vannak. Mindkét játékos feldobja saját kockáját, s az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek előnyös a játék?Gondolatmenet:
Mindkét kockán ugyanannyi a számok összege, vagyis ugyanannyi a számok átlaga. A játék igazságos.2.11. feladat:
Módosítjuk az előző játékot, Béla kockáján kicseréljük az egyik 3-ast 1-esre: 1, 3, 3, 3, 3, 6. Ez a játék most már Andrásnak előnyös?Megjegyzés:
Látható, hogy az előző gondolatmenet „gyanús”. A feladattal kapcsolatos problémákat részletesen megvizsgáljuk az ötödik fejezetben.2.12. feladat:
Egy dobozban 3 piros, 1 fehér és 1 kék, egyforma méretű golyó található. A golyókat véletlenszerűen kihúzzuk egymás után és egy sorozatot készítünk belőlük. Melyik sorrend a valószínűbb: a pppfk (tehát amikor a három pirosat húzzuk ki először) vagy a kfppp?Gondolatmenet:
Nyilván első közelítésben annyit mondhatunk, hogy a sorozat első két helyén inkább piros golyók lesznek.Függelék
A 2.8. - 2.12. feladatok
eredményei:
2.8. A valószínűség .
2.9. Egyik gondolatmenet
sem jó. P = . (Indoklásul elég annyit
mondanunk, hogy 6 alapeset van: 12B, 21B, 1B2, 2B1, B12, B21.)
2.10. A játék Bélának
előnyös.
2.11. A játék igazságos.
2.12. A sorozatok
egyformán valószínűek.