Folytatás
Nagyjából a harmadik ilyen példamondat után vita indul (ezt akartuk!) Néhányan tudni vélik, hogy a mondat minden beleírt számpárra helyes, mások ezt vitatják, tőlük kérjünk ellenpéldát!
Ha egy szám osztható 2-vel és 6-tal, akkor osztható 12-vel is
hamis
A mi malmunkra hajtja a vizet, ha itt olyan ellenpéldákat kezdenek sorolni,
ahol a két szám egyike osztója a másiknak. Ekkor magunk tesszük fel a kérdést,
vajon szükséges-e ez? Hamarosan előkerül a leggyakoribb példa:
Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 24-gyel is
hamis
Most kezdenek hitet tenni tanítványaink, hogy állításunk csakis prímpárokra igaz,
ekkor, és csak ekkor jöjjön a „kegyelemdöfés”
IGAZ-E?
Ha egy szám osztható 9-cel és 10-zel, akkor osztható 90-nel is
Elő a prímtéglákkal és már kezdjük látni a titok nyitját: Ha egy szám
osztható 9-cel, akkor van benne két 3-as tégla, ha még 10-zel is osztható úgy
további két téglát kell magáénak tudnia: egy 2-est, és egy 5-öst. Számunk tehát
így épül fel:
3 ·3·2·5·
(esetleg egyéb téglák) = 90 ·(egyéb) ,
ezért hát osztható 90-nel.
Mostanra megfogalmazzák
tanítványaink, hogy az állítás akkor válik hamissá, ha a benne szereplő
osztóknak van közös prímtényezője.
Itt az alkalom a relatív
prímek fogalmának bevezetésére, s summázhatjuk előbbi kísérletezésünk
eredményét: a
ha egy
szám osztható a-val és b-vel,
akkor osztható a·b-vel is
állítás pontosan akkor igaz,
ha a és b relatív prímek
E tudománynak vesszük közvetlen hasznát például amikor ”összetett” oszthatósági feladatokkal birkózunk, összetett alatt azt értve, hogy két (vagy több) oszthatóságot kell egyidejűleg teljesíteni: 23[][]4 legyen osztható 36-tal.
Az óra
Bemelegítés: Az előző óra felidézése. Egy szám prímekre bontása, osztóinak felépítése. A tanár által mondott szorzatokról döntsük el osztó-e, ha igen , mi a párja stb.
F1.:
ÉPÍTS OLYAN SZÁMOT, MELYRŐL TUDOD, HOGY
• osztója a 11:
11·2, 11·5, 11·11·3, stb
• osztója a 6:
2·3·3, 2·3·7, 2·3·2·5, stb
• osztója a 13 és a 6:
13·2·3·5, 13·2·3, 13·2·2·3·5·7, stb
• ezek valódi osztói:
/részletes megoldás/
2, 3, 4, 6, 8, 12:
2·2·2·3 = 24, vagy 24-nek bármely többszöröse
2, 3, 6, 9:
2·3·3 = 18, vagy 18-nak bármely többszöröse
• ezek a valódi osztói (és más valódi osztója nincs)
2, 4, 5, 10:
2·2·5 = 20
2, 3, 6, 7, 14, 21:
2·3·7 = 42
F2.:
A LEGKISEBB OLYAN (POZITÍV EGÉSZ) SZÁMOT ÉPÍTSD MEG, MELYRŐL TUDOD, HOGY
1. ezek valódi osztói: 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66:
2·2·3·11 = 132
2. ezek valódi osztók, de lehet, hogy néhányat elvesztettem, add meg ezeket
is
2 ,3 ,5 ,6 ,7, 35, 21, 15, 30, 42, 105,:
70, 10, 14, a szám a 2·3·5·7 = 210
/részletes megoldás/
3. 21-gyel osztható négyzetszám:
3·7·7·3 = 441
/részletes megoldás/
4. 8-cal osztható négyzetszám, aminek az utolsó számjegye 0:
2·2·2·2·5·5 = 400
/részletes megoldás/
5. négyzetszám, aminek a duplája is négyzetszám:
nincs ilyen
/részletes megoldás/
F3.:
Most én építettem számot, de egy kártya helyét szabadon hagytam, neked kell pótolni a hiányzó prímet úgy, hogy legyen 3 · 5 · [] · 5