F1.:
Ezek valódi osztók:2, 3, 4, 6, 8, 12Kellenek a felépítendő számba a következő prímkártyák:
2 -mert a 2 osztó
3 -mert a 3 is osztó
2 -még egy 2-es kell, mert a 4 = 2·2 is osztó
2 -egy harmadik 2-es is kell, mert a 8=2·2·2 is osztó
Most azonban készen vagyunk, hiszen van már a felépítményben 2·3, így a 6 osztó, és van 2·2·3 is, tehát a 12 is osztó és ezzel minden feltétel kielégítettünk.
Felesleges
elemet nem használtunk fel: három 2-esre szükségünk van, mert az építendő
szám 8-cal osztható, egy 3-as is kell, a 3-mal való oszthatóságért, így e négy
prímre szükségünk van. Ez tehát a legkisebb kívánt tulajdonságú szám.
F2 / 2.:
Ezek valódi osztók, de lehet, hogy néhányat elvesztettem, add meg ezeket isMivel a szám prímosztói a 2, 3, 5, 7, ezek nyilván építőkövekként szerepelnek. Az ezekkel felépíthető összetett osztók:
2 prím:
2·3, 2·5, 2·7, 3·5, 3·7, 5·7,
azaz 6, 10, 14, 15, 21, 35
3 prím: 2·3·5, 2·3·7, 2·5·7, 3·5·7,
azaz 30, 42,70, 105
4 prím: 2·3·5·7,
ami nem valódi osztó, ha több prímet nem építünk a számba
Minden megadott osztó előáll e négy prímből, ezért a keresett szám a
2·3·5·7 = 210.
A hiányzó osztók pedig :10, 14, 70
F2 / 3.:
21-gyel osztható négyzetszám21=3·7,
ezért az építendő szám téglái közt 3-as és 7-es szerepel.
A
négyzetszámok felírhatok két egyenlő tényező szorzataként – afféle
„ikerház” alakban, ezért mind a 3-as, mind a 7-es prímnek kell egy pár. A
keresett szám így a (3·7)·(7·3) = 441
Megjegyzés
Természetesen tökéletes ez a megoldás is:
A négyzetszámok növekvő sorrendben: 1, 4, 9, 16, 25, stb
E
sorban az első, mely osztható 21-gyel a 441.
Még ügyesebb változat, ha felsorolásunkban
csak a 7-tel osztható négyzetszámok szerepelnek.
Legegyszerűbb DE típushibás! megközelítés pedig, hogy négyzetszámunk 21-gyel osztható, tehát a legkisebb ilyen a 21·21. Ha szerencsénk van így okoskodik egy diákunk, ha mégsem, megtehetjük mi is felemlítve például, hogy „egyszer egy tanulótól eme okoskodást hallottuk, mit szóltok hozzá?”
A LEGKISEBB n-nel OSZTHATÓ NÉGYZETSZÁM AZ n · n
Ne áruljuk el a hibát, keressenek olyan számot, melyet az előbbi nyitott mondatba írva hamis állítást kapunk, és máris megleljük a gondolkodás hibáját is! (n = 9, 12, 18, stb.
Ha az n-be írt számnak van ismétlődő prímtényezője, már jó ellenpélda, hiszen ahhoz, hogy négyzetszámmá egészítsük ki elégséges azonos prímjeinek számát párossá tenni, de nem kell minden prímjét megismételni. Előbbi példánkon.12 = 2·2·3 esetében egyetlen 3-as elég a négyzetszámmá váláshoz, a 2-es prímeket nem kell megismételni.)
Építkező módszerünk nem egyedüli, üdvözítő, hanem olyan mankó, melyre bizton támaszkodhatunk, midőn más ötletünk éppen nem adódik. Minél többféleképp oldjuk meg a felvetett problémákat, annál inkább szoktatunk, tanítunk GONDOLKODÁSRA, és célunk ez, nem az, hogy megoldási rutinokat, kötelezően bejárandó útvonalakat nyújtsunk.
F2 / 4.:
8-cal osztható négyzetszám, aminek az utolsó számjegye 0Az első feltétel miatt három 2-es prímtényező szükséges. Ha a szám utolsó jegy 0, akkor ( és csak akkor) a szám 10-zel osztható tényezőinek egyike tehát 5-ös. Négyzetszám lévén azonban minden prímjéből páros sok kell. Hogy a legkisebb ilyet építsük nyilván a legkevesebb építőelemet használjuk, így még egy 2-est és még egy 5-öst építünk be, s már kész is a keresett szám: 2·2·2·5 · 2·5 = 2·2·5 · 5·2·2
F2 / 5.:
négyzetszám, aminek a duplája is négyzetszámHa egy számot 2-vel szorzunk, úgy 2-es prímjeinek darabszáma 1-gyel nő, ezzel paritást vált (ha páros sok volt most páratlan sok van, és fordítva) , így a szám és duplája egyidejűleg nem tartalmazhat páros sok 2-es téglát. Mivel minden négyzetszámnak páros sok 2-téglája van, ezért egy szám és a duplája egyszerre nem négyzetszám.