A hegyesszögű ABC háromszög M magasságpontját tükrözzük a háromszög AB, BC, CA oldalegyeneseire, a tükörképek rendre X, Y és Z.

• Szerkesszük meg az XYZ háromszög köré írható kört. Mit tapasztalunk? Magyarázzuk meg a látottakat!

• Ha az ABC háromszög megfelelő magasságvonalainak AB, BC és CA oldalain lévő talppontját rendre D, E és F jelöli, akkor számítsuk ki az

    összeg értékét!

Az XYZ háromszög köré írt kör egybeesik az ABC háromszög köré írt körrel, vagy más megfogalmazásban a hegyesszögű háromszög magasságpontjának oldalegyenesekre vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszög köré írt körre. Ennek belátásához tekintsük az ABC háromszög DEF talpponti háromszögét. A DEF háromszög köré írt kör megegyezik az ABC háromszög Feuerbach-körével. A tükrözés tulajdonságai miatt a D, E és F pontok felezik az MX, MY és MZ szakaszokat, vagy más megközelítésben az XYZ háromszög a DEF háromszög kétszeresére nagyított képe az M pontra vonatkozóan. Ebből persze az is következik, hogy az XYZ háromszög köré írt kör az ABC háromszög Feuerbach körének kétszeresére nagyított képe, szintén az M pontra vonatkozóan. Ez a kör pedig pont az ABC háromszög köré írt körrel azonos, azaz X, Y és Z valóban illeszkedik az ABC háromszög köré írt körre.

Az animáció indítása

Megjegyezzük, hogy a fenti észrevételt az alábbi módszerrel is szokták igazolni. A CFME négyszögben az E és F csúcsoknál derékszög van, ezért húrnégyszög. Ebből adódik, hogy ha , akkor . Innen könnyen beláthatjuk, hogy  is teljesül, lévén csúcsszöge az  -nek. A tükrözés szögtartó tulajdonságából azzonal következik, hogy , és így a CAXB négyszögben a C és X csúcsoknál lévő szögek összege 180°, azaz húrnégyszög. Ez azt jelenti, hogy X valóban az ABC háromszög köré írt körén található. Ugyanígy látható be, hogy Y és Z is a körvonal egy-egy pontja.

Az animáció indítása

,

,

,

.

,

,

.

,

,

.