Interaktív geometriai feladatgyűjtemény

Menü

Szerkesztési feladatok

Területátalakítások

Szabályos sokszögek

Szélsőérték-feladatok
(Markó Gábor munkája)

Az AB átmérőjű körvonal egyik félkörívén rögzítsünk egy A-tól és B-től különböző C pontot. A C pontot nem tartalmazó másik féköríven mozgó P pontot tükrözzük az AC illetve a BC egyenesre, a tükörképet jelölje rendre P' és P".

Vizsgáljuk meg a P pont különböző helyzetei mellett a P', P" és C pontok kölcsönös helyzetét! Határozzuk meg, hogy mely P pont esetén lesz a P'CP" töröttvonal hossza a lehető legkisebb, illetve a lehető legnagyobb! Határozzuk meg a minimum és a maximum értékét!

Az animáció alapján azonnal látható, hogy a P', C és P'' pontok egy egyenesre illeszkednek, továbbá C felezi a P'P" szakaszt. Ezt könnyen végiggondolhatjuk, ha a P ponttal együtt a CP szakaszt is tükrözzük az AC illetve BC egyenesekre. A tükrözés szögtartó tulajdonsága alapján , és , ezért . Thalész- tétele alapján azonban az ABC háromszög derékszögű, azaz , amiből azonnal következik, hogy , és így a P', C, P'' pontok egy egyenesre illeszkednek. A tükrözés távolságtartó tulajdonsága alapján pedig és , ezért C valóban megfelezi a P'P'' szakaszt.

Az animáció indítása

A fentiek alapján a P'CP'' töröttvonal valójában egy szakasz, melynek hossza pont kétszerese a CP szakasz hosszának. Ezért P'P'' akkor a lehető legnagyobb, amikor CP is a lehető legnagyobb, azaz amikor CP átmérő a körben. Ebben az esetben a P'P" szakasz hossza a kör átmérőjének kétszerese.
A P'P'' szakasz akkor a lehető legkisebb, amikor CP is a lehető legkisebb, ez pedig abban az esetben van, amikor P egybeesik az A vagy a B ponttal, attól függően, hogy az ABC háromszögnek melyik befogója a rövidebb. Ebben az esetben a P'P'' szakasz hossza az ABC háromszög rövidebb befogójának kétszerese.
Összefoglalva: a P'P'' szakasz hossza az ABC derékszögű háromszög rövidebb befogójának kétszerese, valamint átfogójának kétszerese között változhat.