Oldja meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:

$ \begin{cases}  x+y^2=2 \\  x^2+y^6=2 \end{cases} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben az első három számjegy összege megegyezik a negyedik számjeggyel? Ilyen szám például az 1203.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a valós számok halmazán az

$ f(x)=\dfrac{1}{|x-1|+2\cdot|x+3|} $

Hozzárendelési szabállyal értelmezett függvény. Határozza meg a függvény maximumát. Hol veszi fel a függvény ezt az értéket?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek az $ A $ halmaz elemei azok a négyjegyű pozitív egész számok, amelyekre az alábbi két feltétel egyidejűleg teljesül:

(1) pontosan hat pozitív osztójuk van,

(2) prímosztóik összege 24.

Az $ A $ halmaz elemei közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott számok szorzata egy pozitív egész szám harmadik hatványa?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Jelölje $ a $ és $ b $ ($ a \le b $) egy derékszögű háromszög befogóit, $ c $ az átfogóját. A háromszög oldalaira fennáll az $ a^2 + c^2 = 3ab $ összefüggés. Bizonyítsa be, hogy a háromszög vagy egyenlő szárú, vagy az $ a $ oldal hossza mértani közepe az átfogóhoz tartozó magasság és súlyvonal hosszának.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ n $ oldalú szabályos sokszög minden csúcsához hozzárendeljük az $ 1 $, vagy a $ -1 $ számok valamelyikét. Ezt követően minden élre ráírjuk az adott él végpontjaihoz hozzárendelt számok szorzatát. Lehet-e az élekre írt számok összege $ 999 $, ha

a) $ n = 2024 $,

b) $ n = 2023? $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba