Az $ x,\ y,\ z,\ t $ valós számok mindegyike eleme a $ [0; 2] $ intervallumnak. Igazoljuk, hogy

$ x(2 - t) + y(2 - x) + z(2 - y) + t(2 - z) \le 8. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ n $ tagú társaság tagjai páronként ismerik, vagy nem ismerik egymást. Mindkét esetben ez legyen kölcsönös. Szeretnénk közülük négy embert leültetni egy kerek asztal köré úgy, hogy a szomszédok vagy mind ismerősök legyenek, vagy egyik szomszédpár se ismerje egymást. Mely $ n $ értékre vállalhatjuk, hogy biztosan létre tudunk hozni ilyen asztaltársaságot akkor, ha nem is ismerjük előre a társaságban levő ismerettségi viszonyokat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsünk egy körbe írt $ ABCDEF $ konvex hatszöget. Igazoljuk, hogy az $ AD $, $ BE $ és $ CF $ átlók akkor és csak akkor illeszkednek egy pontra, ha

$ \dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DE}\cdot \dfrac{EF}{FA} = 1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik az a legnagyobb $ x $ egész szám, amelyre $ 4^{17} +4^{1020} +4^x $ négyzetszám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba