Melyek azok a  $ 2020 $-nál kisebb pozitív egész $ s $ számok, amelyekre minden egész $ n $ esetén $ 4n+1 $ és $ sn+1 $ relatív prímek, azaz legnagyobb közös osztójuk $ 1 $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszögben $ ACB \sphericalangle=90^\circ $, a $ C $-hez tartozó magasság talppontja az $ AB $ oldalon $ T $. Legyen az $ AB $ oldalt, a $ CT $ magasságot és az $ ABC $ köré írt kör $ C $-t tartalmazó $ AB $ ívét belülről érintő két kör középpontja $ P $ és $ Q $. Bizonyítsuk be, hogy $ PQ $ felezőpontja az $ ABC $ beírt körének középpontja.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott egy $ n $ oszlopos és $ m $ soros táblázat, ahol $ n $ és $ m $ is egynél nagyobb pozitív egészek. A táblázat mezőire korongokat rakunk, minden mezőre legfeljebb egyet. Nevezzünk két korongot szomszédosnak, ha egy sorban vagy oszlopban vannak, és az őket összekötő szakasz mentén levő mezőkön nincsen más korong. Tudjuk, hogy minden korongnak legfeljebb három szomszédja van. Maximálisan hány korong kerülhetett a táblázatra?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba