Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$ \lg x + \lg y + \lg z = 0 $

$ \lg^2 \left( \dfrac{x}{y} \right) +  \lg^2 \left( \dfrac{y}{z} \right) +  \lg^2 \left( \dfrac{z}{x} \right) = 6 $

$ \lg x \cdot \lg^2(yz) + \lg y \cdot \lg^2(zx) + \lg z \cdot \lg^2(xy) = 0 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő elemei, a legnagyobb szöge kétszerese a legkisebbnek. Határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, ha a területe $ 240 \cdot \sqrt{7} $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy hat pontú teljes gráf minden élét három szín (piros, kék, zöld) valamelyikével színezzük. Tekintsük először a hat pontot és csak a piros éleket. Ezen gráf legtöbb pontot tartalmazó komponensében, azaz összefüggő részében, a pontok számát jelölje $ p $. Hasonlóan kapjuk a $ k $ és $ z $ számokat a másik két színt tekintve. Például, ha a csúcsok $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ és minden $ A $-ból induló él piros, a $ BC $ és $ DE $ él kék, a többi pedig zöld, akkor $ p = 6 $, $ k = 2 $, $ z = 5 $.
a) Lehet-e, hogy $ p = k = z = 6 $?
b) Keressünk olyan színezést, amelyre $ M = max(p, k, z) $ a lehető legkisebb.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n $ pozitív egész. Vegyünk $ 2n $ darab különböző prímszámot, jelölje szorzatukat $ L $. Tekintsük azon pozitív egész $ a < b $ számokat, amelyekre $ a $ osztója $ b $-nek és $ b $ osztója $ L $-nek. Igazoljuk, hogy ezen $ (a, b) $ párok száma $ 5 $-tel osztható.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba