Adott az $ f $ és $ g $ függvény:

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f ( x) = 2 x + 1 $;

$ g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; g ( x) = x^2 - 2 $ .

a) Számítsa ki a $ 2f + g $ függvény zérushelyeit!

b) Számítsa ki az $ f $ és $ g $ függvények grafikonja által közbezárt területet! 

c) Számítással igazolja, hogy a $ h : ] - \infty; - 0,5[ \rightarrow R; h( x) = \dfrac {g(x)}{f(x)} $ függvény szigorúan f ( x ) monoton növekedő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Szétgurult 20 darab tojás az asztalon. Közülük 16 tojás ép maradt, de 4 tojásnak alig észrevehetően megrepedt a héja. Bori ezt nem vette észre, így visszarakosgatja a tojásokat a két tojástartóba. Először a sárga tartóba tesz tízet, majd a fehérbe a többit.

a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a 4 hibás tojás ugyanabba a tartóba kerül?

Csenge sokszor vásárol tojásokat a sarki üzletben. Megfigyelése szerint a tojások közül átlagosan minden ötvenedik törött. (Ezt úgy tekintjük, hogy a tojások mindegyike 0,02 valószínűséggel törött.)

b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 10 tojást tartalmazó dobozban egynél több törött tojást talál Csenge?

Egy csomagolóüzembe két termelő szállít tojásokat: az összes tojás $ 60\% $-a származik az A, $ 40\% $-a a B termelőtől. Az A termelő árujának $ 60\% $-a első osztályú, $ 40\% $-a másodosztályú, a B termelő árujának $ 30\% $-a első osztályú és $ 70\% $-a másodosztályú. Az összes beszállított tojás közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet, és azt első osztályúnak találjuk.

c) Mekkora a valószínűsége, hogy az A termelő árujából való a kiválasztott tojás?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy pénzintézet a tőle felvett $ H $ forint összegű hitel visszafizetésekor havi $ p\% $-os kamattal számol $ (p > 0) $, ezért az adós havi törlesztőrészletét a $ t_n = H \cdot \dfrac {q^n(q-1)}{q^n-1} $ képlettel számítja ki (minden hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben $ q = 1 + \dfrac p {100}$, az $ n $ pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészleteket (ez a hitel futamideje).

a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől; a havi kamat $ 2\% $. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 72 hónap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg!

b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy 2 millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat $ 2\% $-os?

c) Számítsa ki a $ {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}} t_n $ határértéket, ha $ q = 1,02 $ és $ H = 2 000 000 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz!

b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centiméterben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.)

c)Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és $ a + c = b + d $, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthető négyszög.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé!

Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza $ p $, a másiké pedig $ q $ ($ p > 0, q > 0 $). (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.)

b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne $ 6 \cdot \sqrt[3]{ \left(p^3 + q^3\right)^ 2 } $ .

c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba