Az $ \overline{abcd} $ négyjegyű számot „párosíthatónak” nevezzük, ha $ a > b $ és $ \overline{ab} - \overline{cd} = \overline{cd} - \overline{ba} $. Például a $ 2011 $ „párosítható” szám, mivel $ 20 - 11 = 11 - 02 $. Határozzuk meg, hogy hány ilyen tulajdonságú négyjegyű szám létezik.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A páros és páratlan számokat két külön háromszögbe írjuk a következő módon:

i)

$ 0 $

$ 2 \qquad 4 $

$ 6 \qquad 8 \qquad 10 $

$ 12 \qquad 14 \qquad16 \qquad 18 $

$.. $

ii)

$ 1 $

$ 3 \qquad 5 $

$ 7 \qquad 9 \qquad 11 $

$ 13 \qquad 15 \qquad 17 \qquad19 $

$ .. .$

Mutassuk meg, hogy az első esetben a sorok összege 6-tal osztható szám lesz, míg a második esetben köbszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ x_1 $ és $ x_2 $ az $ x^ 2 - (a + d) \cdot x + ad - bc = 0 $ másodfokú egyenlet megoldásai. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az $ x^ 2 - \left( a^3 + d^3 + 3abc + 3bcd \right) \cdot x + (ad - bc)^3 = 0 $ másodfokú egyenlet megoldásai $ x_1^3 $ és $ x_2^3 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCDE $ konvex ötszögben $ AC $ párhuzamos $ DE $-vel és $ BE $ párhuzamos $ DC $-vel. Bizonyítsuk be, hogy az $ AED $ és a $ BCD $ háromszög területe egyenlő!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük azokat a tízes számrendszerbeli számokat, amelyeknek minden számjegye különböző, bármely két szomszédos számjegyük legnagyobb közös osztója legalább 2, és az előző két feltétel teljesülése mellett a lehető legtöbb számjegyből állnak. Egy n pozitív természetes szám és a nulla legnagyobb közös osztója az n szám. Hány ilyen szám van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba