Egy iskolában a tanulók 10 fős csapatokat szerveztek. Egy diák több csapatnak is tagja lehet, vagy akár egyiknek sem. A csapatok száma 500. Bizonyítsuk be, hogy a diákokat el lehet helyezni két terembe úgy, hogy minden csapatnak mindkét teremben legyen tagja.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ AB $ átfogójához tartozó magasságának talppontja $ T $. Az átfogón kijelöljük a $ P $ és a $ Q $ pontokat úgy, hogy $ AP = AC $ és $ BQ = BC $ legyen. Az $ AC $ befogón az $ M $, a $ BC $ befogón az $ N $ pontot úgy jelöljük ki, hogy $ CM = CT = CN $ legyen. Bizonyítsuk be, hogy a $ QPNCM $ ötszög területének és az $ ABC $ háromszög területének aránya $ 2r : R $ , ahol $ r $ az $ ABC $  háromszög beírt körének a sugara, $ R $ pedig a köré írt körének a sugara.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ pozitív egész számokra teljesül az $ ad = b^2 + bc + c^2 $ egyenlőség. Bizonyítsuk be, hogy $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 $ összetett szám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba