Legyen $ A $ az $ \left\{ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\right\} $ halmaz valamely háromelemű részhalmaza. Az $ A $ halmaz mindhárom elemének felhasználásával háromjegyű számokat képzünk. Adja meg azokat az $ A $ halmazokat, amelyek esetén az így kapott összes háromjegyű szám összege egy négyzetszám $ 37 $-szerese.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozza meg, hogy az alábbi két szám közül melyik a nagyobb.

$ A=\dfrac{2025^{2025}+1}{2025^{2026}+1}\qquad B=\dfrac{2025^{2026}+1}{2025^{2027}+1} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet $ AD $ oldalának $ D $-hez legközelebbi negyedelőpontját jelölje $ E $. Bizonyítsa be, hogy a $ CD $ egyenes érinti az $ ABE $ háromszög köré írható körét. 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott $ 16 $ pozitív egész szám, amelyek mindegyikének a prímosztói a $ \left\{ 2; 3; 5; 7 \right\} $ halmazból valók. Bizonyítsa be, hogy a $ 16 $ szám között van négyzetszám, vagy ki lehet választani közülük néhány olyan számot, amelyek szorzata négyzetszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán

$ \begin{cases}  x(x-2)(3x+7y)=1225 \\  x^2+x+7y=70 \end{cases} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög oldalainak hossza $ BC = a $, $ AC = b $ és $ AB = c $, amelyekre az alábbi feltételek mindegyike teljesül:

(1) 5a+12b=12c 

(2) 12a-5b=5c

a) Bizonyítsa be, hogy az $ ABC $ háromszög derékszögű.
b) Legyenek $ a $, $ b $ és $ c $ is $ 500 $-nál kisebb pozitív egész számok. Oldalhosszainak megadásával határozza meg az összes olyan $ ABC $ háromszöget, amelyekre az (1) és a (2) feltétel egyaránt teljesül.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba