Tekintsük a pozitív egész számokat 1-től 2023-ig, az 1-et és a 2023-at is beleértve. Ki szeretnénk hagyni közülük három egymást követőt úgy, hogy a megmaradt számok átlaga egész szám legyen. Mely számokat hagyhatjuk ki?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Melyek azok a pozitív egész számok, amelyeket fel lehet írni két (nem feltétlenül különböző) pozitív racionális szám összegeként és ugyanezen két racionális szám szorzataként is?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy $ 2024 $ oldalú szabályos sokszög csúcsait valamelyiktől kezdve sorban egymás után megbetűzzük, jelölje őket $ A_1 , A_2, A_3 ,\ \ldots\ , A_{2024} $ , így $ A_1 $ és $ A_{2024} $ szomszédosak. Legyen $ A_1 A_2 = a $, $ A_1 A_3 = b $ és $ A_1 A_{1012} = c $. Igazoljuk, hogy

$ \dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{1}{c^2}=\dfrac{4}{b^2} $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen $ d(M ) $ a pozitív egész $ M $ szám összes pozitív osztóinak száma, beleszámolva az $ 1 $-et és magát M-et is. Egy $ 2023 $-nál kisebb pozitív egész $ N $ számot pontosan két prím oszt, a $ 2 $ és a $ 3 $. Mi lehet $ N $ , ha $ d(N^2) = d(2N ) + d(3N ) + 13 $?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy dobókockát négyszer feldobva mennyi a valószínűsége, hogy 
a) a dobott számok szorzata osztható 30-cal; 
b) a dobott számok összege osztható öttel?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba