Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben a beírt kör középpontjának a súlyponttól mért távolsága kisebb, mint a háromszög leghosszabb oldalának a harmada.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ a_0 $ tetszőleges egész szám és tekintsük az $ a_{n+1} = a^2_n + 1 (n\ge 0) $ rekurzióval definiált sorozatot. Mutassuk meg, hogy az $ a_1 , a_2 , \ldots $ számoknak együttvéve végtelen sok különböző prímosztója van.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ a_1, a_2 ,\ldots, a_n, b_1, b_2 , \ldots , b_n $ olyan pozitív egész számok, amelyekre az

$ \dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \ldots ,\dfrac{a_n}{b_n},$

törtek értéke páronként különböző. Bizonyítsuk be, hogy

$ (a_1+a_2+\ldots+a_n)(b_1+b_2+\ldots+b_n)\ge \dfrac{n^3}{16} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba