Melyek azok a pozitív egész számok, amelyek pozitív osztói párba állíthatók úgy, hogy minden párban a két tag egymáshoz relatív prím legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsából a beírt körhöz húzott érintőszakaszok felezőpontjait, és legyen $ e $ az ezeken átfektetett egyenes. Hasonló módon legyen $ f $ a $ B $-ből induló érintőszakaszok felezőpontjain átmenő egyenes, és legyen $ M $ az $ e $ és $ f $ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy $ AM = BM $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott 2023 különböző pont a térben. Az ezeket páronként összekötő szakaszok mindegyikéből kétféle irányítással képezhetünk vektort. Igazoljuk, hogy meg lehet választani az irányításokat úgy, hogy ezeknek a vektoroknak az összege a zérusvektor legyen. Mutassuk meg, hogy ez nem feltétlenül van így, ha a pontok száma 2022.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két bolha, Anett és Balázs ül a koordináta-rendszer egy-egy rácspontján. Anett az origóból indul, és kezdetben, illetve minden lépés után a (0, 1) vektor irányába néz. Balázs az (x, y) rácspontból indul, kezdetben ő is a (0, 1) vektor irányába néz, ám ő minden lépés után abba az irányba néz, amerre haladt a lépés során. Minden lépésben mondunk egy irányt a bolháknak (jobbra, balra, előre vagy hátra), és mindkét bolha egységnyit ugrik a megadott irányban a nézési irányához képest. Például ha az első három lépésben a jobbra, balra és előre irányokat mondjuk, akkor Anett az (1, 0), (0, 0), (0, 1) pontokat járja be, míg Balázs az (x + 1, y), (x + 1, y + 1), (x + 1, y + 2) pontokat. Melyek azok az (x, y) számpárok, melyekre lehetséges, hogy valahány lépés után ugyanazon a rácsponton fog ülni Anett és Balázs?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén fennáll az alábbi egyenlőség:

$  n!=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \dbinom{n}{i} \dbinom{n}{j} \dbinom{ij}{n} $

(Ha $ ij < n $, akkor az $ \dbinom{ij}{n} $ binomiális együttható értéke 0.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba