Igazoljuk, hogy végtelen sok pozitív egész $ (a; b; c) $ számhármasra teljesül, hogy

$ \dbinom{a}{2}+\dbinom{b}{2} = \dbinom{c}{2}     $

Igaz-e, hogy végtelen sok olyan számhármasra is teljesül, ahol $ a \le b \le c \le 2a $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ XYZV $ téglalap $ XY $ oldalán van 7 különböző pont, $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ és $ G $ ebben a sorrendben. A szemközti $ ZV $ oldalon is van 7 különböző pont ezeket valamilyen sorrendben az $ 1,2,\ \ldots\ ,7 $ számok jelölik. Összekötjük az $ A $-t és az $ 1 $-es pontot, a $ B $-t és a $ 2 $-es pontot, ..., a $ G $-t és a $ 7 $-es pontot kékkel. Így 7 kék szakaszt kaptunk, amelyek a téglalap szemközti oldalai között futnak.

a) Hány olyan sorrendje van a számozott pontoknak, amikor minden kék szakaszt ugyanannyi másik kék szakasz metszi?

b) Tegyük fel, hogy a pontok elhelyezkedése olyan, hogy három kék szakasz nem metszi egymást ugyanabban a pontban. Hány olyan sorrendje van a számozott pontoknak, amikor a kék szakaszoknak összesen 7 metszéspontja van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy az $ x_1,\ x_2,\ \ldots \ , x_{2023} $ különböző pozitív egészekre teljesül az alábbi egyenlőtlenség, továbbá határozzuk meg, mikor lesz egyenlőség.

$  x_1^5+ x_2^5+\ \ldots\ x_{2003}^5+x_1^7+ x_2^7+\ \ldots\ x_{2003}^7 \ge 2 \left( x_1^3+ x_2^3+\ \ldots\ x_{2003}^3 \right) $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba