a) Igazoljuk, hogy az $ n = 2020^2 + 2021^2 + 2022^2 + 2023^2 $ számot fel lehet írni három négyzetszám összegeként.

b) Fel lehet-e írni n-et három páros szám négyzetének összegeként?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg az alábbi összeg pontos értékét (a nevezőkben levő kitevők egyesével növekednek -2022-től 2022-ig):

$  \dfrac{1}{1+2^{-2022}} + \dfrac{1}{1+2^{-2022}} + \dfrac{1}{1+2^{-2020}} + \ldots \dfrac{1}{1+2^{2022}}   $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ téglalap $ BAD $ szögének szögfelezője a $ BD $ átlót a $ P $, a $ BC $ oldal egyenesét a $ Q $ pontban metszi. A $ P $ ponton átmenő, $ AB $-vel párhuzamos egyenes az $ AC $ átlót $ R $ pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a $ QR $ egyenes merőleges a $ BD $ átlóra.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $ p $ valós paraméter mely értékei esetén van az alábbi egyenletnek valós megoldása?

$ \sin^4 x + \cos^4 x + p(\sin^6 x + \cos^6 x) = 1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bergengóciában minden év pontosan 365 napból áll. A bergengócok kedvenc mozijában egy játékot ajánlanak a nézőknek. Az egyesével, sorban beérkező nézők megmondják a születésnapjukat (hónap és nap). Aki elsőnek mond olyan időpontot, ami már elhangzott, annak visszatérítik a jegy árát. Hányadikként érdemes beállni a sorba, hogy ennek legnagyobb legyen a valószínősége?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba