Adott a síkban egy 20 oldalú konvex sokszög, melynek csúcsai rendre $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $. Tekintsük azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek csúcsai a húszszög csúcsai közül kerülnek ki. Az így kapott négyszögek között hány olyan van, amelynek nincs közös oldala az $ A_1,\  A_2,\ \ldots A_{20} $ húszszög oldalaival? (Két négyszöget különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Oldja meg a következő egyenletet a pozitív egész számpárok halmazán:

$ \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{3}{2} $

ahol $ 1 \le x_1 < x_2 $.

b) Melyek azok az $ n \ge 3 $ pozitív egész számok, amelyekre az

$ \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+ \ldots +\dfrac{1}{x_n}=\dfrac{3}{2} $

egyenletnek van páronként különböző pozitív egész számokból álló megoldása?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $ O $ csúcsú $ 60^\circ $-os szögtartomány, és a belsejében egy $ P $ pont. A $ P $ pont szögszáraktól való távolságát jelölje $ a $, illetve $ b $.

a) Fejezze ki az $ OP $ távolságot $ a $ és $ b $ függvényeként.

b) Bizonyítsa be, hogy végtelen sok olyan különböző pozitív $ a $ és $ b $ egész szám létezik, amelyekre az $ OP $ távolság is egy pozitív egész szám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba