Bizonyítsa be, hogy a $ 3^n - 2n^2 - 1 $ kifejezés értéke minden pozitív egész n szám esetén osztható 8-cal.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

$ \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^2+(1+x)^2=8 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Frédi és Béni egy szabályos dobókockával játszik. Frédi dob, Béni pedig Frédi minden dobása után a kocka felső lapján lévő pöttyök mindegyike mellé rajzol még egy-egy pöttyöt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy Frédi harmadik dobásának eredménye páratlan?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABCD $ négyzet $ AB $ oldalának felezőpontja $ F $, a $ C $ csúcsból a $ DF $ szakaszra állított merőleges és a $ DF $ egyenes metszéspontja pedig $ P $. Határozza meg az $ ABP $ háromszög és az $ ABCD $ négyzet területének arányát.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Megoldás: 

a) $ R_f = \{|\ 2n - 2021\,|,\ n \in \mathbb{N},\ n\le 2021 \} = \{-2021; -2019; -2017;\ \ldots\ ; 2019; 2021 \} $.

b) 1022121

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ n $ tagú társaságról ($n \ge 3 $) tudjuk, hogy bárhogyan is választunk ki közülük 3 embert, a kiválasztottak közül biztosan van 2 olyan ember, akik nem ismerik egymást, és ugyanabban a hármasban biztosan van 2 olyan ember is, akik ismerik egymást (az ismeretség kölcsönös). Hány tagja lehet a társaságnak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba