Egy körben válasszunk ki véges sok húrt, és színezzük őket pirosra vagy kékre olyan módon, hogy a kör bármelyik pontjába ugyanannyi piros húr fusson be, mint kék. Legyen P a kör egy tetszőleges pontja, és tekintsük P -nek a húrok egyeneseitől mért távolságait. Bizonyítsuk be, hogy a pirosakhoz tartozó távolságok szorzata egyenlő a kékekhez tartozók szorzatával.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

James Bond, a 007-es ügynök feladata egy csupa különböző ötjegyű számból álló titkos lista megszerzése, amit el kell juttatnia M-hez (a számok sorrendje nem számít, a listán legalább 10 és legfeljebb 100 szám van). Gyanús azonban, hogy a futár ellenséges ügynök, ezért Bond megváltoztatja a lista egyik számát úgy, hogy továbbra is ötjegyű, és a többitől különböző legyen. Meg tud-e Bond és M állapodni előzetesen (a titkos lista ismerete nélkül) olyan módszerben, mellyel a megváltoztatott listából M rekonstruálni tudja az eredetit?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az összes olyan kétváltozós, egész együtthatós $ f(x, y) $ polinomot, amelyre $ f (x, y) = f (y, x) $ azonosság, továbbá $ f (m, n) = 0 $ minden olyan $ m $ és $ n $ egészekre, melyekre $ 0 \le m, n \le 2021 $. Az $ f (2022, 2022) $ értékek között mi a legkisebb pozitív, ha $ f $ befutja az összes ilyen polinomot?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba