Mely $ n\ge 0 $ egészekre lesz $ 625^n+4^{2n+1} prímszám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek az $ ABC $ háromszög oldalai a szokásos betűzéssel $ a $, $ b $, $ c $, és a $ C $ csúcshoz tartozó magassága $ m $. Bizonyítsuk be, hogy ha a $ C $ csúcsnál levő szög legfeljebb derékszög, akkor

$ a+b > \dfrac{2}{3}m+c $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egyszerű gráfban csúcsok egy halmazát függetlennek nevezzük, ha semelyik két eleme között nem fut él. Jelölje $ F(G) $ a $ G $ egyszerű gráf csúcsai közül kiválasztható független részhalmazok számát. Adott $ n $ mellett az $ n $ csúcsú összefüggő gráfok közül melyikre lesz $ F(G) $ maximális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy valós számokból álló $ n $ elernű halmaz minden részhalmazára kiszámoltuk az elemek összegét. Legalább hányféle számot kaptunk? (Az üres halmaz elemeinek összegét $ 0 $-nak tekintjük.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg azokat az $ f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} $ függvényeket, amelyekre minden $ x \ne y $ valós szám esetén teljesül, hogy

$ \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=g\left(\dfrac{x+y}{2} \right) $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba