Hány olyan pozitív egész szám van, amely nem eleme az

$f(x)=\sqrt{x^3-x^2-2x} $

függvény értelmezési tartományának?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egységoldalú négyzet minden oldalán kiválasztunk egy-egy belső pontot; ezek egy konvex négyszög csúcsai, amelynek oldalai : $a$, $b$, $c$ és $d$. Bizonyítsuk be, hogy

$ 2\le a^2+b^2+c^2+d^2<4. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A pozitív egész számok körében négy egymást követő páratlan szám négyzetének az összegét vizsgáljuk. Hány olyan számnégyes van, amelynél ez a négyzetösszeg 36-tal osztható, ha a négy egymást követő páratlan szám mindegyike kisebb 1000-nél?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

$ \left(\dfrac{1}{2} \right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{3} \right)^{2x}+3^{2x}= \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x} + 2^{x} + \left(\dfrac{3}{2} \right)^x $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy egységsugarú körbe írt $ABCD$ négyszög két szomszédos szöge $ 60^\circ$-os, illetve $ 90^\circ$-os. A négyszög tetszőleges P belső pontját az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalegyenesekre tükrözve rendre a $K$, $L$, $M$, $N$ pontokat kapjuk.
(a) Határozzuk meg az $AKBLCMDN$ zárt töröttvonal hosszának a minimumát.
(b) Hol helyezkedik el a $P$ pont a minimális hossz esetén?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba