A hegyesszögű ABC háromszög $ A $, illetve $ B $ csúcsából húzott magasságok talppontjai $ A_1 $, illetve $ B_ $. Bizonyítsuk be, hogy

$ CA_1 \cdot AB_1 + CB_1 \cdot BA_1 = AB \cdot A_1B_1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Keressük meg az összes nemnegatív egész számokból álló $ k,\ l,\ m $ számhármast, amelyre

$ 13^k + 43^l = 2018^m $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy városban n tűzoltóállomás van. Bármelyik kettő közé építhetünk vízvezetéket. Percenként c liter víz szállítására képes vezeték építése bármely két állomás között c tallérba kerül. A polgármester olyan hálózat tervezésére írt ki pályázatot, hogy vészhelyzet esetén lehetséges legyen egy tetszőleges tűzoltóállomásból tetszőleges másikba percenként 1000 liter vizet szállítani. Mennyibe kerül a legolcsóbb ilyen tulajdonságú vízvezetékhálózat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög határvonalán két pontot átellenesnek nevezünk, ha a határvonal mentén mért távolságuk éppen a kerület fele. Mutassuk meg, hogy bármely háromszögben van két átellenes pont, amelyek távolsága legfeljebb a kerület negyedével egyenlő.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott $ m $-hez melyik az a legkisebb $ k $ egész szám, amelyre igaz a következő állítás: Akárhogyan színezzük ki pirossal és kékkel az $ 1, 2, . . . , k $ számokat, biztosan található olyan  $ 1\le a_1 < . . . < a_m < b_1 < . . . < b_m \le k $, hogy az $ a_i $-k egyszínűek, a $ b_j $-k is egyszínűek (de nem feltétlenül azonos színűek az $ a_i $-kkel), és $ b_m - b_1\ge  a_m - a_1 $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba