Adott egy P(x) egész együtthatós polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha léteznek olyan a, b egészek, melyekre |P(a)| = |P(b)| = 1, továbbá |a − b|>3, akkor a polinomnak nincs egész gyöke.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontja M. Az AM és CM szakaszok mint átmérők fölé egy-egy kört rajzolunk. Tegyük fel, hogy az első kör az AB, illetve AD oldalt a P, illetve S belső pontban, a második kör pedig a CB, illetve CD oldalt a Q, illetve R belső pontban metszi. Igazoljuk, hogy $AP \cdot BQ \cdot CR \cdot DS = BP \cdot CQ \cdot DR \cdot AS$.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek A, B és C pozitív egész számok, melyekre $A^2 + B^2 + C$ osztható AB-vel. Definiáljuk az an sorozatot az

$a_1=A,\quad a_2=B,\quad a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+C}{a_{n-1}}\quad (n\ge2)$

rekurzióval. Bizonyítsuk be, hogy $a_n$ minden n-re egész szám

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy bármely konvex hatszögben a kilenc darab átló hosszának összege nagyobb a kerület másfélszeresénél.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $n\ge2$ egész, és $a_1, a_2, \ldots , a_n$ legyenek páronként különböző számok. Bizonyítsuk be, hogy

$\sum_{k=1}^n\ \prod_{j=1, j\ne k}^n\ \dfrac{1}{a_k-a_j}=0$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba