Az ABC derékszögű háromszög súlypontja legyen S. Tudjuk, hogy $ACB\angle = ASC\angle = 90^\circ$. Az A csúcsból merőlegest állítunk a BS egyenesre, ez BC egyenesét D-ben metszi. Mennyi a CD:CB arány értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen számjegy áll az N szám tizedestört alakjában a tizedesvessző utáni 2018. helyen?

$N=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\ldots+\dfrac{2017}{2018!}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c egész számok, és $\dfrac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c}$a  racionális, akkor $\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}$ egész szám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Vegyünk 31 különböző pozitív prímszámot és adjuk össze a negyedik hatványaikat. Igazoljuk, hogy ha a kapott szám osztható 30-cal, akkor a prímszámok között szerepel három egymást követő prím (azaz $p<q<r$ úgy, hogy a ]p;q[ és ]q;r[ nyílt intervallumokban nincsenek prímszámok).

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba