Számítsuk ki a következő összeg értékét:

$N=1\cdot 3-5\cdot 7+9\cdot 11-13\cdot 15+ \ldots -197\cdot 199+201\cdot 203$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A pozitív egészekből álló $d_1,d_2\ldots ,d_k$ sorozatot az n osztóláncának nevezzük, ha $d_1=1$ és $d_k=n$, továbbá a sorozat minden tagja - az utolsó kivételével - osztója a következő tagnak. Például n = 6 esetén három ilyen osztólánc van, ezek az 1,6; 1,2,6; és az 1,3,6. Hány osztólánc van, ha

a) n= 1024;

b) n=999;

c) n=1000?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok körében az alábbi egyenletet:

$\sqrt{2+4x-2x^2}+\sqrt{6+6x-3x^2}=x^2-2x+6$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy ha az ABCD húrnégyszög AD oldalán van olyan P pont, hogy a CDP háromszög és az ABCP négyszög kerülete és területe is megegyezik, akkor az ABCD négyszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két autóbusz indul ugyanabban az időpontban ugyanazon az úton, az egyik Pirip ócsról Nekeresdre, a másik ellenkező irányban, Nekeresdről Piripócsra. A buszok sebess ége állandó, az arányuk 6:5, az a gyorsabb, amelyik Piripócsról indul. Az út mentén minden kilométernél van egy kilométerkő. Megérkezéskor a buszok pontosan 30 percig várakoznak, majd ugyanazon az útvonalon indulnak vissza, így közlekednek egész nap a két város közt oda-vissza. Másodszor a 156-os kilométerkőnél találkoznak, harmadszor pedig a 128-asnál. Hanyadik kilométerkőnél lehetett az első találkozás? Hanyadik kilométerkőnél lehet a piripócsi buszmegálló?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba