Egy számtani sorozat első tagja 101, differenciája egyjegyű természetes szám. Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 997, ha ismert, hogy ez a szám a sorozat legnagyobb háromjegyű tagja?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 3x3-as táblázat egységnégyzeteibe beírjuk 1-től 9-ig a számokat (mindegyiket pontosan egyszer). Ezután a 3x3-as táblázatra minden lehetséges módon ráteszünk egy négy egységnégyzetből álló 2x2-es táblázatot és kiszámítjuk az ebben levő négy szám összegét, végül az így kapott összegeket összeadjuk. Ezt megismételjük a 3x3-as táblázat minden lehetséges kitöltése esetén.

a) Határozza meg a fenti módon kapható összegek minimumát és maximumát!
b) Megkapható-e minden, a minimum és a maximum közé eső pozitív egész szám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsa be az $(ab+b^2)(a^2+ab)\le1$ egyenlőtlenséget, ha a és b olyan pozitív valós számok, amelyekre teljesül, hogy [trx]a^2+b^2=1" />! Mikor áll fenn egyenlőség?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozza meg azt a legkisebb p természetes számot, amelyre az

$\log_{1-2x}(x+2p)=1+\log_{\dfrac{1}{1-2x}}(p-x)$

egyenlet mindkét oldala értelmezhető és az egyenletnek van legalább egy valós megoldása!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az egységnyi oldalhosszúságú ABC szabályos háromszög BC oldalának tetszőleges belső pontja D. Forgassa el a D pontot az A körül $ 60^\circ$-kal negatív irányba, a kapott pont legyen E. Legyen továbbá az AB és DE egyenesek közös pontja F. Határozza meg az AF szakasz hosszának minimális értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba