$ ?? $Az ${1, 2, . . . , n}$ halmaz egy részhalmazát kicsinek nevezzük, ha üres vagy kevesebb eleme van a legkisebb eleménél. Adott n-re hány kicsi részhalmaz van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Anna tetszőlegesen beosztja az$ n + 1 , n + 2 , . . . , n + 2k$ számokat k darab diszjunkt párba. Ezután megmondja Balázsnak, mennyi az egyes párokban az elemek szorzata. Legyen $f(n)$ az a maximális k, amelyre ebből a k darab szorzatértékből Balázs mindig ki tudja találni az Anna által gondolt számpárokat. Bizonyítsuk be, hogy vannak olyan c és d, az n-től független pozitív konstansok, hogy minden elég nagy n-re

$c\sqrt{n}<f(n)<d\sqrt{n}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszög A-val átellenes oldalán felvettük az $A_1$ pontot, a B-vel átellenes oldalon $B_1$ -et, a C-vel átellenesen $C_1$-et úgy, hogy az $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ szakaszok áthaladnak ugyanazon a P ponton. Bizonyítsuk be, hogy

$AP\cdot PA_1+BP\cdot PB_1+CP\cdot PC_1 < \dfrac{1}{3}\left(BC 32+CA^2+AB^2\right)$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba