Mely ABC háromszögekhez léteznek olyan e és f egyenesek, hogy az A pontot e-re, majd a kapott pontot f -re tükrözve B-t kapjuk, viszont az A-t előbb f -re, majd a kapott pontot e-re tükrözve C-t kapjuk?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen alapú számrendszer esetén létezik olyan 1-nél nagyobb pozitív egész, amely megegyezik a számjegyei összegének a négyzetével?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a síkon két kör egymás külsejében, sugaraik r és R. Egy egyenlő szárú háromszög alapja az egyik külső közös érintőszakaszon fekszik, szemközti csúcsa a másik külső közös érintőszakaszra illeszkedik, szárai pedig érintenek egyet-egyet a körök közül. Igazoljuk, hogy a háromszögnek az alaphoz tartozó magassága r + R.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek az n pozitív egésznél nem nagyobb prímek $p_1 , . . . , p_r $. Bizonyítsuk be, hogy

$\sum_{i=1}^{r}\left[\log_{p_i}n\right] = \sum_{i=1}^{r}\left[\dfrac{n}{p_i}\right] -2 \sum_{1\le i<j\le r}\left[\dfrac{n}{p_ip_j}\right] +3 \sum_{1\le i<j<k \le r}\left[\dfrac{n}{p_ip_jp_k}\right] - \ldots $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 2016 csúcsú teljes gráf
csúcsaiba versenybolhákat ültetünk, éleit pedig megszátermészetes számokkal. A számokat ezután növekvő sormozzuk az $ 1, 2, . . . , \binom{2016}{2}$ rendben felolvassuk. Minden egyes szám felolvasása után a számhoz tartozó él két végén ülő bolha helyet cserél. A verseny győztese a legtöbb helycserét végző bolha. (Holtverseny esetén több győztes is lehet.)

(a) Legfeljebb hány helycserét végezhet egy győztes bolha?

(b) Legalább hány helycserét kell végeznie egy győztes bolhának?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba