Tekintsük azokat az ötjegyű számokat, amnelyek az 5, 6, 7, 8 számjegyeket tartalmazzák és mindegyiket legalább egyszer. Mennyi ezeknek az ötjegyű számoknak az összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legy C az AB szakasz belső pontja. Az AB szakasz azonos oldalára emeljök az AB, AC és CB átmérőjű félköröket. A C ponton át az AB-re emelt merőleges egyenes az AB-re emelt félkörívet a D pontban metszi. Az AD szakasz és az AC-re emelt félkörív  metszéspontja E, a BD szakasz és a CB-re emelt félkörív félkörív metszéspontja F. Igazoljuk, hogy az EF egyenes az AC-re illetve CB-re emelt félkörívek közös érintője lesz.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen a₁=1, a sorozat további elemeit a következő összefüggés határozza meg:

 $a_{n+1}\cdot a_n=4\left ( a_{n+1}-1 \right )$

Igazoljuk, hogy a sorozat első 2025 darab tagjának szorzata  nagyobb, mint 2²⁰¹⁴.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABC háromszög kerülete 12 cm, területe 6 cm². Legyen P az ABC háromszög egy belső pontja. A P pontnak a BC, CA és AB oldalak egyeneseire vonatkozó merőleges vetületei legyenek rendre D, E és F. Tekintsük az alábbi összget:

$S=\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$

(a) Határozzuk meg S minimális értékét
(b) A háromszög mely P belső pontjára lesz S értéke minimális?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert

 $sin^2x+cos^2y=y^2,\quad sin^2y+cos^2x=x^2$!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba